Выпуклый Функционал

- функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал f, не принимающий значений, равных на выпуклом множестве А, будет выпуклым на Атогда и только тогда, когда выполняется неравенство При обратном знаке неравенства функционал f наз. Вогнутым. Операциями, переводящими В. Ф. В В. Ф., являются, напр., сложение умножение на положительное число, взятие верхней грани инфимальная конволюция В. Ф., ограниченный сверху в окрестности нек-рой точки х, является непрерывным в этой точке. Если В. Ф. Конечен в нек-рой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке.

Замкнутые В. Ф. (т. Е. Функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологич. Пространствах допускают двойственное описание. Они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым В. Ф. Двойственный объект, сопряженный функционал. Свойства В. Ф., операции над ними, взаимосвязи В. Ф. И их сопряженных и т. П. Изучаются в выпуклом анализе. Лит.:[1] Вurnbaum Z., Orlicz W., "Stud, math.", 1931, v. 3, p. 1-67. [2] Xapди Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г., Неравенства, пер. С англ., М., 1948. [3] Красносельский М. А., Рутицкий Я. В., Выпуклые функции и пространства Орлича, М., 1958. [4] Fеnсhе1 W., "Can. J. Math.", 1949. V. 1, p. 73-77. [5] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер.

С англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.