Голономии Группа

- одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Г. Г. Определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли Gи базой В(обладающей счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно она определяется для любого присоединенного к Ррасслоенного многообразия Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого пространства Fпредставления группы Ли G. Связность Г в Р (соответственно в Е).определяет для любой кусочно гладкой кривой Lбазы Визоморфное отображение ГLдруг на друга слоев, соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой Lбазы В, начинающейся и оканчивающейся в точке , соответствует автоморфизм слоя Gx (соответственно ) над точкой х.

Множество этих автоморфизмов образует группу Ли , которая наз. Группой голономии связности Г в точке х. Если база (линейно) связна, то и изоморфны между собой для любых и в В. Поэтому можно говорить о группе голономии Ф линейно связного многообразия Р(или Е).со связностью Г. Г. Г. Ф х является подгруппой структурной группы G. В случае линейной связности в Рэту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка в слое над точкой х. Совокупность элементов таких, что точки соединимы горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу группы G, изоморфную . Ограниченной (суженной) Г. Г. наз. Подгруппа Г. Г. , порожденная замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента Г.

Г. , при этом не более чем счетно. Роль Г. Г. В дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в Р. Теорема о приведении связности. Пусть - главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счеткости. Ф - Г. Г. Заданной в Рсвязности Г. Тогда структурная группа Gприводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приводима к связности в приведенном расслоении , Г. Г. К-рого совпадает с Ф. Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной Г. Г.) является подалгеброй алгебры G, порожденной всеми векторами , где - форма кривизны в точке у, у прооегает множество, каждая точка к-рого может быть соединена с исходной точкой y0 горизонтальным путем, - произвольные горизонтальные векторы.

Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. С нем., М., 1971. [2] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Геометрия многообразий, пер. С англ., М., 1967. [3] Стернбсрг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. С англ., М., 1970. Г. Ф. Лаптев.