Кавагути Пространство

- гладкое n-мерное многообразие Vn, в к-ром элемент дуги ds регулярной кривой x=x(t),выражается формулой. причем метрическая функция Fподчиняется условиям Цермело. Где Условия (2) обеспечивают независимость элемента дуги ds от параметризации кривой x=x(t). Общая теория К. П. Впервые изложена А. Кавагути (см. [1]). Основанием для рассмотрения К. П. Послужило то, что элементы дуги вида (1) встречались в различных однородных пространствах (напр., афинная дуга, проективная дуга). Впоследствии было установлено (см. [2]), что в любом однородном пространстве существует инвариантная метрика Кавагути (1), группа автоморфизмов к-рой совпадает с группой преобразований однородного пространства. Основы общей теории К. П. Развивались на формальном пути обобщения тензорного аппарата и параллельного перенесения.

А. Кавагути в качестве основного пространства рассматривал расслоенное пространство, базой к-рого является пространство линейных элементов ( х i, x(s)i), s=l,2,. ., q, порядка q=2p- 1, а слоями - n-мерные векторные пространства Т n, касательные к Vn. Ковариантное дифференцирование контравариантных векторов Vi(xk, x(s)k) определяется с помощью операторов ковариантного дифференцирования где зависят от линейного элемента порядка q=2р-1. Эти операторы могут быть построены с помощью трехкратного продолжения метрич. Функции и определяемого ею метрич. Тензора qij, зависящего также от линейного элемента порядка 2р-1. Так, построенная общая теория К. П. Не получила глубокого развития отчасти ввиду того, что порядок qбазисного пространства линейных элементов оказался выше, чем порядок рпространства, на к-ром задана метрич.

Функция Fи на к-ром должны определяться все дифференциальные инварианты К. П. Другие возможности исследования К. П. Основаны на современной теории расслоенных пространств, теории струй и теории нелинейных связностей. На этом пути с применением дифференциально-алгебраич. Метода продолжений и охватов для широкого класса К. П. Найдена нек-рая редуктивная линейная связность в подходящим образом подобранном расслоенном пространстве, базой к-рого служит пространство линейных элементов порядка р. Структурные уравнения форм этой связности дают полную систему тензорных инвариантов К. П., на основе к-рой формулируются инвариантные признаки нек-рых важных классов К. П. В дифференциальной геометрии обобщенных пространств большое место занимает исследование специальных К.

П. С метрикой вида где А i и В- функции х i и х'i, что сближает такие пространства с финслеровыми пространствами. В этом случае общая теория А. Кавагути оказывается неприменимой, так как метрич. Тензор gij становится вырожденным. Поэтому вводится несимметрич. Тензор к-рый в общем случае не вырожден. В отличие от таких пространств, К. П. Общего типа представляют собой дифференциально-геометрич. Структуру высшего порядка. Изучение К. П. Служит также для поиска геометрич. Подходов к исследованию вариационной задачи для интегралов вида Лит.:[1] Кawguсhi A., "Proc. Imp. Acad. Tokyo", 1937, v. 13, p. 237-40. [2] Лосик М. В., в кн. Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу, 1963, в. 12, с. 213-37. [3] Близникас В. И., в кн. Итоги науки. Алгебра.

Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 73-125. Л. Е. Евтушик..