Картана Подгруппа

группы G - максимальная нильпотентная подгруппа Св G, всякий нормальный делитель конечного индекса к-рой является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в G. Если G - связная линейная алгебраич. Группа над полем характеристики 0, то К. П. В Gмогут быть определены и как замкнутые связные подгруппы, алгебры Ли к-рых являются Картана подалгебрами алгебры Ли группы G. Примером К. П. Может служить подгруппа Dвсех диагональных матриц в группе GLn(k)всех невырожденных матриц. В связной линейной алгебраич. Группе GК. П. Может быть определена также как централизатор максимального тора группы Gили как связная замкнутая нильпотентная подгруппа, совпадающая со связной компонентой единицы своего нормализатора в G.

Множества Cs и С u всех полупростых и ушшотентных элементов в С(см. Жордана разложение )являются замкнутыми подгруппами в С и С= С s С и. При этом С s- единственный максимальный тор группы G, лежащий в С. Размерность К. П. Группы Gназ. Рангом группы G. Объединение всех К. П. Группы Gсодержит открытое в топологии Зариского подмножество в G(но, вообще говоря, не совпадает с G). Всякий-полупростой элемент в Gлежит по крайней мере в одной К. П., а всякий регулярный элемент - ровно в одной К. П. Если j :- сюръективный морфизм линейных алгебраич. Групп, то К. П. В С - образы К. П. В G относительно j. Любые две К. П. В Gсопряжены. Пусть группа Gопределена над полем k, тогда в Gсуществует К. П., также определенная над k, более того, Gпорождается своими К.

П., определенными над к. Две определенные над кК. П. В Gмогут быть и не сопряжены над k(но в случае, когда G разрешима, они сопряжены). Многообразие К. П. Группы G рационально над к. К. П. Связной полупростой (или, более общо, редуктивной) группы G является максимальным тором в G. Пусть G-связная вещественная группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда К. П. Группы G замкнуты в G (но не обязательно связны) и их алгебрами Ли являются подалгебры Картана алгебры д. Если G - аналитич. Одгруппа в GLn(R), а -наименьшая содержащая Gалгебраич. Подгруппа в GLn(R), то К. П. В G являются пересечениями G с К. П. В В случае, когда G компактна, К. П. Связны, абелевы (являются максимальными торами) и сопряжены между собой, а всякий элемент в Gлежит в нек-рой К.

П. Лит.:[1] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. С франц., т. 3, М., 1958. [2] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [3] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, Л" 1, с. 43-111. № 2, с. 3-31. [4] Demazure M., Grothendieck A., Schemas en groupes, Seminaire de geometrie algebrique, P., 1964. В. Л. Попов..