Квадратичное Поле

- расширение степени 2 поля рациональных чисел Q. Любое К. П. Имеет вид где т. Е. Получается присоединением к полю Q элемента тогда и только тогда, когда d1=c2d2, где Поэтому любое К. П. Имеет вид где d- целое рациональное число свободное от квадратов, однозначно определяемое этим К. П. В дальнейшем d предполагается именно таким. При d>0 поле наз. Вещественным К. П., а при d<0- мнимым. В качестве фундаментального базиса поля т. Е. Базиса кольца целых чисел поля над кольцом целых рациональных чисел Z, можно взять и Дискриминант D поля равен соответственно d при d=1 (mod 4) и 4dпри d=2,3 (mod 4). Мнимые К. П.- единственный тип полей (кроме Q)с конечной группой единиц. Эта группа имеет порядок 4 для (и образующую порядок 6 для (и образующую порядок 2 (и образующую - 1) для всех остальных мнимых К.

П. Для вещественных К. П. Группа единиц изоморфна прямому произведению где - группа порядка 2, порожденная числом -1, и {e} - бесконечная циклическая группа, порожденная основной единицей е. Напр., для поля Закон разложения простых дивизоров в К. П. Допускает простую формулировку. Полю можно сопоставить квадратичный характер cна Z по модулю D. Если р - простое число и (D,p)=l, то дивизор (р) прост в при c(р)=- 1, и распадается в произведение двух простых дивизоров при c(р)=1. Группа классов дивизоров К. П. Изучена лучше, чем для других классов полей. В случае мнимых К. П. Теорема Бруэра - Зигеля (утверждающая, что для полей алгебраических чисел фиксированной степени выполняется асимптотич. Соотношение где h, R и D- число классов, регулятор и дискриминант поля) показывает, что число классов дивизоров стремится к бесконечности при Имеется ровно 9 одноклассных мнимых К.

П. (при d=- 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163, см. [2]). Для, вещественных К. П. Неизвестно (1978) конечно или бесконечно число одноклассных полей. Существует бесконечно много К. П. (как мнимых, так и вещественных), число классов к-рых делится на данное натуральное число (см. [3], [4]). Аналогичное свойство для 2-компоненты группы классов следует из теории родов Гаусса. Абелевы расширения мнимых К. П. В явном виде позволяет строить теория комплексного умножения (см. [5]). Многиэ арифметич. Свойства К. П. Допускают переформулировку в терминах теории бинарных квадратичных форм. Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972. 12] Stark H. M., "Mich. Math. J.", 1967, v. 14, p. 1-27. [3] Ankenу N. С., Сhowla S., "Pacific.

J. Math.", 1955, v. 5, p. 321-24. [4] Jamamоtо J., "Osaka J. Math.", 1970, v. 7, p. 57-76. [5] Алгебраическая теория чисел, пер. С англ., М., 1969, гл. 13. Л. В. Кузьмин..