Классические Ортогональные Многочлены

- общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами. 1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона причем на концах интервала ортогональности выполняются условия 2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению 3) Имеет место обобщенная Родрига формула где с п- некоторый нормировочный коэффициент. 4) Производные К. О. М. Суть также К. О. М. И ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом. 5) Для производящей функции имеет место представление где l=l{х, w)- тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точке х.

Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы, полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого переменного. В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с п обычно выбирается тремя различными способами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом, либо так наз. Стандартизованных ортогональных многочленов, к-рые вводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простой вид. К. О. М. Являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для уравнений типа Штурма - Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных многочленов (многочлены Якоби, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единственной последовательностью решений соответствующей системы уравнений (см.

[4], с. 110). Частные случаи К. О. М. Определяются следующим выбором весовой функции и интервала ортогональности. 1) Многочлены Якоби {Р п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р п (х;a)}. Лежандра многочлены {Р n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ - 1,1] с весом j(x)=1. Если т. Е. J(x)=[(1-х)(1+х)]-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т п (х)}, а при - многочлены Чебышева второго рода {Un(x)}. 2) Многочлены Эрмита {Н n (х)}ортогональны на интервале с весом j(x) = ехр(- х 2) 3) Многочлены Лагерра {L п (х;a)}ортогональны на интервале с весом j(x) = xae-x, где a>-1.

Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950. [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. С англ., 2 изд., М., 1974. [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. С англ., М., 1948. [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974. [5] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. Также лит. При ст. Ортогональные многочлены. П. И. Суетин..