Классов Дивизоров Группа

- факторгруппа группы диеизориалъных идеалов D (А) Крулля кольца А по подгруппе главных идеалов F(A). К. Д. Г. Является абелевой группой и обычно обозначается С(А). Группа С(А)порождается классами простых идеалов высоты 1 в кольце А. В некотором смысле К. Д. Г. Измеряет отклонение от однозначности разложения элементов кольца Ана неразложимые множители. Так, факториальное кольцо имеет нулевую К. Д. Г. Пусть j :- гомоморфизм колец Крулля, тогда при некоторых дополнительных предположениях (напр., в случае, когда В- целое или плоское расширение кольца А)определен канонич. Гомоморфизм К. Д. Г. J* . Если В - локализация кольца Апо мультипликативной системе S, то j* сюръективно и ядро j* порождается простыми дивизориальными идеалами кольца А, пересекающимися с S (теорема Hагата).

Если В- кольцо многочленов над А, то канонич. Гомоморфизм ф* биективен (это является обобщением теоремы Гаусса о факториальности кольца многочленов над полем). В более общем случае, когда В - симметрическая нётерова алгебра А-модуля М, канонич. Гомоморфизм j* будет биективен при условии, что все симметрич. Степени Si (М). Рефлексивны. Если В- кольцо формальных степенных рядов над А, то гомоморфизм j* инъективен (и даже обратим слева), но. Вообще говоря, не биективен. Подгруппа группы С(А), порожденная обратимыми идеалами, изоморфна Пикара группеPic(A) кольца А, и функториальные свойства Pic (А)и С(А)согласованы. Так, если В- строго плоское расширение кольца Аи гомоморфизм j* . Инъективен, то инъективен и j* .

В частности, если пополнение Алокального кольца Афакториально, то факториально и А(теорема Мори). Пусть А- нормальное нётерово кольцо. Группа Pic (А)совпадает с С(А)тогда и только тогда, когда А- локально факториальное кольцо, т. Е. Все локальные кольца А т факториальны (напр., когда А - регулярное кольцо). Более точно, если - факториально}, то где Uпробегают систему открытых подсхем в Spec(A), содержащих F. Это позволяет определить К. Д. Г. Нормальной схемы [5] - группу классов дивизоров Вейля (см. Дивизор). Первоначально изучались К. Д. Г. Колец алгебраич. Чисел, первые результаты о конечности этой группы были получены еще Э. Куммером (Е. Kummer). Имеется тесная связь свойств К. Д. Г. С теоретико-числовыми вопросами, напр, с теоремой Ферма.

Таблицы порядков. К. Д. Г. Некоторых колец алгебраич. Чисел приведены в [1]. Современную общность теория К. Д. Г. Получила в работах В. Крулля (W. Krull). П. Самюэль (P. Samuel) изучил функториальный характер К. Д. Г. И предложил несколько методов ее вычисления (как, напр., метод спуска). Другие подходы к изучению К. Д. Г. Основаны на сравнении ее с группой Пикара, при этом применяются когомологич. И алгебро-геометрич. Средства. Для любой абелевой группы существует изоморфная ей К. Д. Г. Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 1964. [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. [3] Samuel P., Topology, [1964], v. 3, Suppl. 1, S. 81-96. [4] Fоssum R. M., The divisor class group of a Krull domain, В., 1973. [5] Grоthendieck A., Dieudonne J., "Publ.

Math. IHES", 1967, t. 32. В. И. Данилов..