Компактный Оператор

- оператор А, определенный на множестве Мтопологич. Векторного пространства X, со значениями в топологич. Векторном пространстве Y такой, что всякое ограниченное подмножество множества Мон отображает в предкомпактное множество пространства Y. Если, кроме того, оператор Анепрерывен на М, то он наз. Вполне непрерывным на этом множестве. В случае, когда Xи Yбанаховы или, более общо, борнологические пространства, а оператор линеен, то понятия компактного и вполне непрерывного оператора совпадают. Если А- компактный, а В- непрерывный операторы, то и - К. О., так что множество К. О. Есть двусторонний идеал в кольце всех непрерывных операторов. В частности, К. О. Не имеет непрерывного обратного. Свойство компактности играет существенную роль в теории неподвижных точек оператора и при изучении его спектра, к-рый в этом случае обладает рядом "хороших" свойств.

Примерами К. О. Являются интегральные операторы Фредгольма Гаммерштейна и Урысона в нек-рых функциональных пространствах при соответствующих ограничениях на функции K{t, s), g(t, и )и K(t, s, и). Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965. [2] Иосида К., Функциональный анализ, пер. С англ., М., 1967. [3] Рудин У., Функциональный анализ, пер. С англ., М., 1975. [4] Красносельский М. А. И др., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966..