Компактность

- свойство топологич. Пространства, состоящее в том, что каждое бесконечное его подмножество имеет предельную точку. Для метрич. Пространства понятие К. Совпадает с понятием бикомпактности. Свойство К. Может быть выражено в такой форме. Всякое счетное подмножество имеет предельную точку, так что компактные пространства естественно называть компактными для мощности В связи с этим возникают понятия инициальной и финальной К. Или, более общо, компактности в отрезке мощностей [ а, b], или [ а, b]. Компактности, выражаемой в трех эквивалентных формах. 1) всякое множество мощности имеет точку полного накопления, т. Е. Такую точку x, что для каждой ее окрестности Ox. Множество Ox З М имеет ту же мощность, что и М;2) всякая вполне упорядоченная система порядкового типа замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

3) всякое открытое покрытие мощности содержит покрытие мощности <m. Если то Xназ. Инициально компактным вплоть до мощности b. Просто К. Означает инициальную К. До мощности и поэтому иногда К. Наз. Счетной К. Если b>а- любое, то Xназ. Финально компактным, начиная с мощности а;так, всякое пространство со счетной базой финально компактно с Бикомпактные пространства инициально компактны до любой (бесконечной) мощности и одновременно финально компактны, начиная с любой мощности,- отсюда их название. Таким образом, всякое бикомпактное пространство компактно, но не наоборот. Пространство W(w1) всех порядковых чисел <w1 компактно, но не бикомпактно. Из К. Пространства X, вообще говоря, не следует, что Xявляется компактным множеством, напр, в пространстве (неметризуемом) I с существует замкнутое (и следовательно бикомпактное) множество, не содержащее никакой нестационарной сходящейся последовательности.

М. И Войцеховский.