Конечности Теоремы

- 1) К. Т. В алгебраической геометрии - утверждения о различных объектах алгебраич. Геометрии (пространствах когомологий, алгебраич. Многообразиях, схемах, расслоениях и т. П.), состоящие в том, что эти объекты зависят от конечного числа параметров или же образуют конечное множество. Первый круг теорем конечности относится к пространствам когомологий когерентных алгебраич. Пучков. Фундаментальная теорема состоит в том, что эти пространства конечномерны над основным полем k, если многообразие собственно (для k=С это свойство равносильно компактности) (см. [2]). В рамках теории схем были получены весьма широкие обобщения этой теоремы. Одно из них обобщает данную теорему на случай собственных морфизмов схем и утверждает, что прямой образ когерентного пучка относительно такого отображения когерентен (см.

[3], [4]). Другое обобщение относится к изучению когомологпй несобственных многообразий. Оказывается, что если рассматриваемое многообразие Xполучается выбрасыванием нек-рого подмногообразия Yиз собственного многообразия, то можно оценить те размерности, в к-рых группы когомологий конечномерны. Эти оценки зависят от коразмерности многообразия Yи свойств его особых точек (см. [5], [6]). Известны также соответствующие К. Т. Для этальных когомологий. Другой круг К. Т. Относится к подсхемам п, более общо, когерентным пучкам на фиксированной собственной схеме. Эти объекты могут быть параметризованы в весьма широкой ситуации Гильберта схемами (или для обратимых пучков - Пикара схемами). Наиболее общая из таких К. Т. Утверждает, что эти схемы квазипроективны, если ограничиться подсхемами пли пучками с одним и тем же Гильберта многочленом[4].

Ее частным случаем является тот факт, и что алгебраич. Подмногообразия данной степени в проективном пространстве зависят от конечного числа параметров, а также теорема о конечности базиса Нерона - Севери группы. Эти теоремы находят применение в целом ряде проблем конечности, возникающих в диофантовой геометрии. Среди таких проблем. Вопрос о конечности множества рациональных точек алгебраич. Многообразия, определенного над глобальным полем (многомерный аналог гипотезы Морделла), гипотеза Шафаревича о конечности числа алгебраич. Кривых, определенных над данным глобальным полем и с фиксированными вырождениями, вопрос о конечной порожденности группы рациональных точек алгебраич. Группы. Лит.:[1] Serrе J.-P., "J.

Math, pures et appl.", 1957, t. 36, № 5, p. 1 - 16. [2] Расслоение пространства и их приложения, М., 1958, с. 372-450. [3] Grot hen dieck A., Elements de geometrie algebrique, ch. 3, pt 2, P., 1963 (Publ. Math. IHES, №17). [4] eго же, Fondements de geometrie algebrique, P., 1962. [5] Hartshоrne R., Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, В.-Hdlb.-N. Y., 1970. [6] Ogus A., "Ann. Math.", 1973, v. 98, № 5 2, p. 327-65. [7] Шафарeвич И. Р., в кн. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Stockh., 1962, p. 163-76. [8] Аракелов С. Ю., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, № 6 с. 1269 - 93. А. Н. Паршин. 2) К. Т. В теории аналитических пространств - критерии конечномерности групп когомологий со значениями в когерентных аналитических пучках.

Первой общей теоремой такого рода явилась теорема конечности Картана - Серра [1]. Если X- компактное комплексное пространство и - когерентный аналитич. Учок на X, то пространства когомологий конечномерны и отделимы для всех Обобщение этой теоремы на случай выпукло-вогнутых пространств [2], [3] утверждает. Если X- сильно (р, q)-выпукло-вогнутое пространство (см. Псевдовыпуклость и псевдовогнутость). И - когерентный аналитич. Учок на X, то конечномерны при и отделимы при а конечномерны при q+l kprof F-ри отделимы при К К. Т. Относят также обобщения указанных выше теорем на относительный случай, т. Е. Критерии когерентности прямых образов когерентных аналитнч. Пучков при аналитпч. Отображениях. Обобщением теоремы Картана - Серра является следующая теорема Грауэрта [4], [5].

Если л:- собственное аналитич. Отображение комплексных пространств и F- когерентный аналитич. Учок на X, то прямые образы когерентны при всех Это свойство оказывается и достаточным для собственности отображения л. Аналогичные К. Т. Доказаны для сильно р- выпуклых и сильно q-вогнутых отображений (см. [6]). Аналог теоремы Грауэрта доказан также для жестких аналитических пространств над полем с неархимедовым нормированием [7]. С К. Т. Тесно связаны теоремы об оценке степени трансцендентности поля мероморфных функций на различных классах комплексных пространств (см. Зигеля теорема). Простым следствием теоремы Грауэрта является следующая теорема Реммерта [4]. Если p. X->Y- собственное аналитич. Отображение комплексных пространств п Z- аналнтнч.

Множество в X, то множество p(Z) аналитично в Y. Эта теорема переносится и на случай жестких пространств [7]. Лит.:[1] Саrtan H., Serre J.-P., "С. R. Acad. Sci.", 1953, t. 237, p. 128-30. [2] Андреотти А., Грауэрт Г., в кн. Комплексные пространства, М., 1965, с. 105-89, пер. С франц. [3] Ramis J. P., "Ann. Scuola norm, super. Pisa. Sci. Fis. E mat.", 1973, ser. 3, t. 27, № 4, p. 933-97. [4] Грayэрт Г., в кн. Комплексные пространства, М., 1965, с. 205- 299, пер. С нем. [5] Вaniса С, Stanasilа О., Metode algebrice In teoria globala a spafiilor complexe, Buc, 1974. [61 Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977 с 93-171. [7] Кiehl R., "Invent, math.", 1967, Bd 2, № 3 S. 191 - 214. А. Л. Онищик..