Конечномерная Ассоциативная Алгебра

- ассоциативное кольцо А, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над полем F, в к-ром выполняется следующее условие для всех и Размерность пространства Анад полем Fназ. Размерностью алгебры Анад F. Принято также говорить, что алгебра Аявляется n-мерной. Всякая n-мерная ассоциативная алгебра Анад полем Fимеет точное представление матрицами порядка n+1 над F, т. Е. Существует изоморфизм алгебры Ана нек-рую подалгебру алгебры всех квадратных матриц порядка над F. Если, кроме того, алгебра Асодержит единицу, то она имеет точное представление матрицами порядка пнад F. Пусть е г, . , е п- некоторый базис векторного пространства Анад F(он наз. Также базисом алгебры А)и Элементы поля Fназ.

Структурными константами алгебры Ав данном базисе. Они образуют тензор третьего ранга в пространстве А. Основные теоремы о К. А. А. Радикал. Джекобсона К. А. А. Нильпотентен и, если основное поле сепарабельно, отщепляется полупрямым слагаемым (см. Веддерберна- Мальцева теорема). Полупростая К. А. А. Над полем разлагается в прямую сумму магричных алгебр над телами. Если основное поле Fалгебраически замкнуто, то полупростая К. А. А. Распадается в прямую сумму матричных алгебр над F. Простые конечномерные алгебры исчерпываются полными матричными алгебрами над телами (теорема Веддерберна). В частности, К. А. А. Без делителей нуля оказывается телом. Над полем действительных чисел К. А. А. С делением (т. Е. Тела) исчерпываются следующими примерами. Поле действительных чисел, поле комплексных чисел, тело кватернионов (теорема Фробениуса).

Многие из упомянутых структурных свойств К. А. А. Имеют место и в более широких классах нётеровых и артиновых колец (см., напр., Веддерберна- Артина. Теорема). Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. С нем., М., 1976. [2] Аlbert A. A., Structure of algebras, N. Y., 1939. В.