Коши-римана Условия

Д'Аламбера - Эйлера условия,- условия на действительную и=и( х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного. Для того чтобы функция w=f(z), определенная в нек-рой области Dкомплексной плоскости z, была моногеннойвточке т. Е. Имела производную в точке z0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части ии vбыли дифференцируемы в точке (x0, y0) как функции действительных переменных хи у ичтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана. Если К.- Р. У. Выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм. Для того чтобы однозначная в области Dфункция f(z) была аналитической в D, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими К.- Р.

У. Всюду в D. Функции и и v класса C2(D), удовлетворяющие К.- Р. У. (1), являются, каждая по отдельности, гармоническими функциями от хи у, условия (1) суть условия сопряженности этих двух гармонич. Функций. Зная одну из них, вторую можно найти интегрированием. Условия (1) справедливы для любых двух ортогональных направлений s и п, ориентированных взаимно так же, как оси Ох и Оу в виде. Напр., в полярных координатах (r, j) при Введя операторы комплексного дифференцирования К.- Р. У. (1) можно записать в виде Таким образом, дифференцируемая функция переменных является аналитич. Функцией от z тогда и только тогда, когда Для аналитич. Функций многих комплексных переменных К.- Р. У. Записываются в виде переопределенной при n>1 системы уравнений с частными производными для функций или, при помощи операторов комплексного дифференцирования, в виде.

Функции ии vкласса С 2, удовлетворяющие условиям (2), являются при каждая по отдельности, плюригармоническими функциями от переменных Плюригармонич. Функции при n>1 составляют собственный подкласс класса гармонич. Функций. Условия (2) суть условия сопряженности двух плюригармонич. Функций ии v:зная одну из них, другую можно найти интегрированием. Условия (1) впервые, по-видимому, появились в работе Ж. Д'Аламбера [1]. В работе Л. Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 (см. [2]), условия (1) получили впервые характер общего признака аналитичности функций. О. Коши пользовался соотношениями (1) для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 (см.

[3]). Знаменитая диссертация Б. Римана (В. Riemann) об основах теории функций относится к 1851 (см. [4]). Лит.:[l] D'Alembert J., Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des fluides, P., 1752. [2] E u 1 е г L., "Nova Acta Acad. Sc. Petrop.", 1797, v. 10, p. 3 - 19. [3]C a u с h у A.-L., CEuvres completes, ser. 1, t. 1, P., 1882, p. 319 - 506. [4] Р и м а н Б., Соч., пер. С нем., М.- Л., 1948, с. 49-87. [5] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 1. [6J Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 1, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.