Коэна - Маколея Кольцо

маколеево к о л ь ц о, - коммутативное локальное нётерово кольцо А, глубина prof Aк-poro равна его размерности dim А. Гомологич. Характеризация К.- М. К. Асостоит в том, что группы или группы локальных когомологий обращаются в нуль при всех здесь m - максимальный идеал, a k- поле вычетов А. Можно дать определение К.-М. К., используя понятие регулярной последовательности. Так называется последовательность элементов m такая, что для всех iэлемент а i не делит нуль в Локальное кольцо Аназ. К.- М. К., если существует регулярная последовательность для к-рой факторкольцо артиново. В этом случае Если - простой идеал в К.- М. К. А , то для его высоты (см. Высота идеала).выполняется соотношение В частности, К.- М.

К. Равноразмерное и цепное. Фундаментальным результатом о К. -М. К. Является следующая теорема о несмешанности. Пусть Аесть d-мерное К.- М. К., а %, . ., ak - последовательность элементов Аи Тогда последовательность а 1( . ., ak регулярна, и идеал несмешанный, т. Е. Любой простой идеал, ассоциированный с имеет высоту kи ковысоту d-k. Теорема о несмешанности была доказана Ф. Маколеем [1] для кольца многочленов и И. Коэном [2] для кольца формальных степенных рядов. Примеры К.- М. К. Регулярное локальное кольцо (и, вообще, любое кольцо Горенштейна) является К.- М. К. Любое артиново кольцо, любое одномерное приведенное кольцо, любое двумерное нормальное кольцо являются К.- М. К. Если А - локальное К.- М. К., то такими же будут его пополнение, кольцо формальных степенных рядов над Аи любое конечное плоское расширение.

К.- М. К. Будет и полное пересечение в К.- М. К. А, т. Е. Факторкольцо вида где последовательность в], - . ., а k регулярна. Наконец, локализация К.- М. К. В простом идеале снова является К.- М. К. Ото позволяет расширить определение К.- М. К. На произвольные кольца и схемы. А именно, нётерово кольцо А(схема X).наз. Кольцом Коэна - Маколея (схемой Коэна - Маколея), если для любого простого идеала (соответственно любой точки ) локальное кольцо (соответственно ) является К.- М. К. В этом более широком смысле К.- М. К. Является кольцо многочленов над полем и даже над любым К.- М. К., а также полугрупповое кольцо где G - выпуклый многогранный конус в (см. [6]). К.- М. К. Стабильны и при переходе к кольцам инвариантов. Если G - конечная группа, действующая на К.- М.

К. А, причем ее порядок обратим в Л, то кольцо инвариантов А G также есть К.- М. К. Для градуированного кольца Асвойство быть К.- М. К. Проявляется в когомологиях обратимых пучков на проективной схеме (см. [4]). Если однородное кольцо Аконуса в А n+1, связанного с проективным многообразием является К.- М. К., то Xназ. Арифметическим многообразием Коэна - Маколея. В этом случае кольцо Аизоморфно для всех и для где есть v-я тензорная степень поляризующего обратимого пучка на X. Этим свойством обладают проективные пространства и их произведения, полные пересечения, многообразия Грассмана и подмногообразия Шуберта [7], многообразие флагов и обобщенное многообразие флагов [8]. Модуль Мнад локальным кольцом Аназ.

Модулем Коэна - Маколея, если его глубина равна размерности. На модули Коэна - Маколея распространяются многие результаты о К.- М. К. Напр., носитель такого модуля равноразмерен. Существует гипотеза, что любое полное локальное кольцо обладает модулем Коэна - Маколея Мтаким, что dim M=dim A. Лит.:[1] Macaulay P. S., The algebraic theory of modular systems, Camb., 1916. [2] С о h e n I. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1946, v. 59, p. 54-106. [3] 3 a p и с с к и и (3., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер-, с англ., т. 2, М., 1963. [Л] М а м ф о р д Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. С англ., М., 1968. [5] С е р р Ж.-П., "Математика", 1963, т. 7, № 5, с. 3-93. [6] Н о с h s t е г М., "Ann. Math.", 1972, v. 96, p. 318-37.

[7] е г о же, "J. Algebra", 1973, v. 25, р. 40-57. [8] К е m р t G.R., "Ann. Math.", 1976, v. 103, p. 557 - 91. B. И. Данилов. .