Криволинейный Интеграл

интеграл по кривой. Пусть в тг-мерном евклидовом пространстве задана спрямляемая кривая - длина дуги и на кривой g задана функция F=F(x(s)). К. И. определяется равенством (справа - интеграл по отрезку) и наз. Криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги. Он является пределом соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть описаны в терминах, связанных с кривой. Напр., если функция F(x(s)).интегрируема по Риману (см. Римана интеграл), - разбиение отрезка - его мелкость, - длина части кривой g от точки x(si-1). До точки и то Если спрямляемая кривая g задана параметрическим представлением , и на ней задана функция F=F(x(t)), то интеграл определяется равенством (справа - Стилтъеса интеграл).и наз.

К р и в о л и-нейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х k. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм. Если разбиение отрезка и то Если F - непрерывная на спрямляемой кривой функция, то К. И. (1) и (2) всегда существуют. Если А- начало, а В- конец кривой g, то К. И. (1) и (2) обозначаются также через К. И. Первого рода не зависит от ориентации кривой. а К. И. Второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой. Если g - непрерывно дифференцируемая кривая, - ее непрерывно дифференцируемое представление, и F - непрерывная на g функция, то и тем самым интегралы, стоящие в правой части этих равенств, не зависят от выбора параметра на кривой g.

Если - единичный касательный вектор к кривой g, то К. Н. Второго рода выражается через К. И. Первого рода по формуле Если кривая g задана векторным представлением - векторная функция, определенная на g, то, по определению, Связь между К. И. И интегралами других видов устанавливается Грина формулой и Стокса формулой. С помощью К. И. Можно вычислять площади плоских областей. Если конечная плоская область Gограничена спрямляемым простым контуром g, то ее площадь равна где контур g ориентирован против часовой стрелки. Если вдоль кривой g распределена нек-рая масса Мс линейной плотностьюr(x) , то Если F(х) - напряженность силового поля (т. Е. Сила, действующая на единицу массы), тогда равен работе силового поля вдоль кривой Y при перемещении вдоль g единичной массы.

К. И. Используются в теории векторных полей. Если непрерывное векторное поле определено на нек-рой л-мерной области G, n>1, то следующие три свойства эквивалентны. 1) Для любой замкнутой спрямляемой кривой справедливо равенство (векторное поле, обладающее этим свойством, наз. Потенциальным). 2) Для любой пары точек и для любых двух спрямляемых кривых с началом в точко Аи концом в точке В. 3) В области Gсуществует такая функция и(х).(называемая потенциальной функцией векторного поля а(х)), что т. Е. При этом для любых и любой кривой Если n=2 или n=3 и область Gодносвязна при n=2 и поверхностно односвязна при п=3, а поле непрерывно дифференцируемо, то свойства 1) - 3) эквивалентны следующему свойству.

4) Вихрь векторного поля в области G равен нулю. Если условие односвязности области G не выполнено, то свойство 4) не эквивалентно, вообще говоря, свойствам 1) - 3). Напр., для поля определенного на плоскости с выброшенным началом координат, имеем но Лит.:[1] Ильин В. А., П о з н я к Э.