Кубическая Форма

однородный многочлен третьей степени от нескольких переменных с коэффициентами из нек-рого фиксированного поля или кольца. Пусть k - нек-рое поле и F3(x0,. , х п )-К. Ф. С коэффициентами из k(говорят, что это - К. Ф. Над k}. Уравнение определяет кубическую гиперповерхность в проективном пространстве Р n, что сводит алгебро-геометрическую теорию К. Ф. Над алгебраически замкнутым полем kк теории кубических гиперповерхностей (см. [1]). Арифметич. Теория К. Ф. Над числовыми полями (и их кольцами целых) развита пока (1982) недостаточно полно по сравнению с богатой и содержательной арифметич. Теорией квадратичных форм. Для К. Ф. От двух переменных арифметич. Теория - это теория кубич. Расширений числовых полей (см. [2]). Для К. Ф. От трех переменных арифметич.

Теория - это часть арифметич. Теории эллиптич. Кривых (см. [3]). В частности, для К. Ф. От трех переменных известны примеры нарушения принципа Хассе. Для К. Ф. От четырех переменных (см. [1, 4, 6]) также известны примеры нарушения принципа Хассе. Для К. Ф. От большего числа переменных нет никакой общей теории. В чисто алгебраич. Теории К. Ф. Кроме результатов о структуре множеств точек на кубич. Гиперповерхностях имеется еще ряд результатов классич. Теории инвариантов. А именно, известно строение алгебры (абсолютных) инвариантов К. Ф. От двух и трех переменных. В этих случаях она не имеет сизигий и является алгеброй многочленов соответственно от одного (степени 4) и двух (степени 4 и 6) алгебраич. Независимых однородных образующих. Если число переменных больше трех, указанная алгебра имеет сизигии [5] и устроена весьма сложно.

Орбиты, их стабилизаторы и канонич. Представители, а также семейства орбит относительно естественного действия группы на пространстве всех К. Ф. От трех и четырех переменных изучались А. Пуанкаре [6]. Лит.:[1] Манин Ю. И., Кубические формы. Алгебра, геометрия, арифметика, М., 1972. [2] Д е л о н е В. Н., Фаддеев Д. К., Теория иррациональностей третьей степени, М.-Л., 1940 (Тр. Матем. Ин-та АН СССР, т. И). [3] Касселс Д ж., "Математика", 1968, т. 12, № 1, с. 113-60. .№ 2, с. 3-48. [4] S е g r е В., "Math. Notae", [Univ. Rosario], 1951, v. 11, p. 1-68. [5] К а ц В. Г., П о п о в В. Л., Винберг Е. Б., "С. R. Acad. Sci.", 1976, t. 283, p. 875-78. [6] II у а н к а р е А., Избр. Труды, пер. С франц., т. 2, М., 1972, с. 819-900. В. А. Псковских, В. Л. Попов.