Лежандра Преобразование

1) Преобразование математич. Анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. Еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть - гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве Анормированного пространства Xи обладающая тем свойством, что отображение (здесь f'(х) - Фреше производная f) взаимно однозначно отображает Ана множество Тогда Л. П. F - это функция на В, определенная формулой В случае, если f - функция на и при этом определитель det отличен от нуля в области А, Л. П. Задается формулами здесь Преобразование встречается еще у Г. Лейбница (G. Leibnitz), в общем виде определено А. Лежандром (A.

Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776). В случае, если f - конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то Л. П. Можно определить так. Выражение (2) с заменой шах на sup было положено (см. [2]) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряженная функция).Примеры. Л. П. Функции одного переменного будет функция Л. П. Функции ( х, х)/2 в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением (Х, Х) будет функция (y, y)/2. Л. П., основанное на замене переменных является частным случаем прикосновения преобразования;сущность Л. П. Заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве - как множества точек ( х, f(x)).и как огибающей семейства ее касательных плоскостей, задаваемых парой состоящей из линейного функционала х* и аффинной касательной функции Л.

П. Играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе (см. [1], [2], [4]), в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (см. [6]), в классич. Механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математич. Физики. Так, применение Л. П. К решению удифференциального уравнения F(x, у, y')=0 переводит его в решение Yуравнения F(Y, XY'-Y, X), где Х=у' (х), Y (Х)= у*(X), к-рое иногда интегрируется проще исходного. Применение Л. П. К лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в Гамильтона функцию. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классич. Механике) переходят в эквивалентную систему канонич. Уравнений. В термодинамике Л.

П. Осуществляет переход от одних функций состояния к другим, напр. От удельного объема и энтропии к температуре . И давлению. Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1970. [2] Г у р с а Э., Курс математического анализа, пер. С франц., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1936. [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974. [4] Р о к а ф е л л а р Р., Выпуклый анализ, пер. С англ., М., 1973. [5] F е n с h е l W., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77. [6] Caratheodory C., Variations rechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lpz.- В., 1935. В. М. Тихомиров. 2) Интегральное преобразование вида где Р п (х) - Лежандра многочлен порядка п. Формула обращения имеет вид если ряд сходится.

Л. П. Сводит дифференциальную операцию к алгебраической по формуле Для Л. П. Имеет место теорема о свертке. Если Е(х) - внутренность эллипса Л. П. Является частным случаем Якоби преобразования. Лит.:[1] Tranter С. J., "Quart. J. Math.", 1950, v. 1, p. 1-8. [2] Итоги науки. Математический анализ, 1966, М , 1967, с. 7-82. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. .