Мартина Граница

в теории потенциала - идеальная граница Грина пространстваW (см. Также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. Представление положительных гар-монич. Функций на W. Пусть W - локально компактное, но не компактное топологич. Пространство, Ф - семейство непрерывных функций Теорема Констант инеску - Корня [2] утверждает, что существует единственное с точностью до гомеоморфизма компактное пространство со следующими свойствами. 1) W есть подпространство всюду плотное в 2) каждая функция __ непрерывно продолжается на до функции разделяющей точки идеальной границы пространства W относительно семейства Ф. 3) W есть открытое множество в Пусть теперь W - ограниченная область евклидова пространства или, вообще, пространство Грина.

G=G(x, у) - Грина функцияW с полюсом точка фиксирована. Пространство Мартина, или к о м п а к т и ф и к а ц и я Мартина, области Wполучается по теореме Константи-неску - Корня в том случае, если в качестве семейства Ф принимается причем, по определению, К(х 0, y0)=l. M. Г.- это соответствующая идеальная граница Топология Мартина Г - это топология пространства Мартина Пространства Мартина соответствующие выбору различных точек гомеоморфны между собой. Функция являющаяся продолжением К( х, у),- гармоническая по уи непрерывная по совокупности переменных (x, у). - метризуемое пространство. Основная теорема Мартина [1] утверждает. Класс всех положительных гармонич. Функций на W. Характеризуется представлением Мартина.

где m - нек-рая положительная мера Радона на В представлении (*) мера m, определяется по, функции и. Неоднозначно. Гармонич. Функция наз. Минимальной в W, если каждая гармонич. Функция wтакая, что в W, пропорциональна v. Минимальные гармонич. Функции пропорциональны соответствующие точки наз. Минимальными, множество всех минимальных точек наз. Минимальной границей Мартина. Подчиняя меру m в (*) дополнительному условию, чтобы она была сосредоточена на получают к а н о-ническое представление Мартина. в к-ром мера определяется по иоднозначно. Примеры. 1) Если - шар радиуса Rв пространстве то есть ядро Пуассона, совпадаете евклидовым замыканием, М. Г. есть сфера все точки к-рой минимальные. Представление (*) в этом случае сводится к формуле Пуассона - Герглотца (см.

Интегральное представление аналитической функции, Пуассона интеграл). 2).М. Г. совпадает с евклидовой границей всякий раз, когда Г есть достаточно гладкая гиперповерхность в 3) Если W - односвязная плоская область, то М. Г. D совпадает с множеством граничных элементов, или простых концов по Каратеодори. Таким образом, элементы М. Г. можно рассматривать как обобщение понятия простых концов для размерностей Лит.:[1] М а r t i n R. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1941, v. 49, p. 137-72. [2] Constantinescu C., Cornea A., Ideale Rander Riemannscher Flachen, B. [u. A.], 1963. [3] Б р e л о М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. С англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев. .