Модуль Эллиптического Интеграла

- величина, обратная экстремальной длине семейства замкнутых кривых в кольце разделяющих граничные окружности. М. К. Равен С помощью конформного отображения на соответствующее кольцо Кполучается модуль mG кольцевой области G. Оказывается, что , где - Дирихле интеграл от действительной части функции и, отображающей Gна К. (Таким образом, данная кольцевая область отображается на кольцо с определенным отношением радиусов граничных окружностей. Этот факт может быть принят за другое определение..

- конформно инвариантная числовая характеристика семейства кривых. Величина, обратная экстремальной длине этого семейства.. ..

- группа Г всех дробно-линейных преобразований вида где - целые рациональные числа. М. Г. Отождествляется с факторгруппой , и является дискретной подгруппой в группе Ли . Здесь (соответственно ) - группа матриц - действительные (соответственноцелые) числа, М. Г. Является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , т. Е. Является свободным произведением циклич. Группы порядка 2, по..

- полная алгебраич. Кривая , униформизуемая подгруппой конечного индекса модулярной группы Г. Точнее, М. К. Есть полная алгебраич. Кривая, получаемая из факторпро-странства , где Н- верхняя полуплоскость, присоединением конечного числа параболич. Точек (классов эквивалентности относительно рациональных точек границы области Н). Наиболее известные примеры подгрупп конечного индекса в Г - конгруэнц-подгруппы, содержащие для нек-рого целого главную конгруэнц-подгруппу уровня N, представимую мат..