Модулярная Кривая

- полная алгебраич. Кривая , униформизуемая подгруппой конечного индекса модулярной группы Г. Точнее, М. К. Есть полная алгебраич. Кривая, получаемая из факторпро-странства , где Н- верхняя полуплоскость, присоединением конечного числа параболич. Точек (классов эквивалентности относительно рациональных точек границы области Н). Наиболее известные примеры подгрупп конечного индекса в Г - конгруэнц-подгруппы, содержащие для нек-рого целого главную конгруэнц-подгруппу уровня N, представимую матрицами (см. Модулярная группа). Наименьшее такое Nназ. Уровнем подгруппы . В частности, подгруппа , представимая матрицами, к-рые сравнимы с верхними треугольными матрицами по mod N, имеет уровень N. Каждой подгруппе конечного индекса соответствует накрытие М.

К. , к-рое разветвлено только над образами точек . Для конгруэнц-подгрупп ветвление этого накрытия позволяет определить род М. К. , доказать существование подгрупп Г конечного индекса в Г, не являющихся конгруэнц-подгруппами (см. [4] т. 2 и [2]). Род кривой равен 0 для и равен р - простые, при . М. К. Всегда определена над полем алгебраич. Чисел (обычно над или его круговым расширением). Рациональные функции на М. К. Поднимаются до модулярных функций (высшего уровня) и образуют поле. Автоморфизмы этого, поля изучены (см. [2]). Голоморфная дифференциальная форма на М. К.задается на Ндифференциалом (где - голоморфная функция), инвариантным относительно преобразований при этом есть модулярная форма веса 2 относительно Г. Дзета-функция М.

К. Есть произведение Меллина преобразований модулярных форм и, следовательно, она имеет мероморфное продолжение и удовлетворяет функциональному уравнению. Этот факт послужил отправной точкой теории Ленглендса - Вейля о связи модулярных форм и рядов Дирихле (см. [7], [8]). В частности, есть предположение, что каждая зллиптич. Кривая над полем (кондуктора N)униформизуется модулярными функциями уровня N. Гомологии М. К. Связаны с модулярными символами, что позволяет исследовать арифметику значений дзетафункции М. К. В центре критич. Полосы и построить р-адическую дзета-функцию М. К. (см. [1]). М. К. Параметризует семейство эллиптич. Кривых, являясь их многообразием модулей (см. [7] т. 2). В частности, для точки факторпространства взаимно однозначно соответствуют парам, состоящим из эллиптич.

Кривой (аналитически эквивалентной комплексному тору ) и точки порядка Nна (образа точки z/N). Над каждой М. К. Имеется естественное алгебраич. Расслоение на эллиптич. Кривые, компактифицированное вырожденными кривыми над параболич. Точками М. К. Его расслоенные степени , где - целое , наз. Многообразиями Куги (см. [3], [5]). Дзета-функции многообразий связаны с преобразованиями Меллина модулярных форм, а их гомологии - с периодами модулярных форм (см. [3], [7]). Рациональные точки на М. К. Соответствуют эллиптич. Кривым, имеющим рациональные точки конечного порядка (или рациональные подгруппы точек), их описание (см. [6]) позволило решить проблему кручения эллиптйч. Кривых над Исследование геометрии и арифметики М. К. Основано на использовании группы автоморфизмов проективного предела кривых по убывающим , края (по существу) совпадает с группой над кольцом Арациональных аделей.

На каждой М. К. это дает нетривиальное кольцо соответствий (кольцо Гекке), имеющее приложения в теории модулярных форм (см. [2]). Лит.:[1] Манин Ю. И., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1972, т. 36, №1, с. 19-66. [2] Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфныхфункций, пер. С англ., М., 1973. [3] Шокуро в В. В., "Матем. Сб.", 1976, т. 101, № 1, с. 131 - 1 57. [4] Кlеin F., Pricke R., Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd 1-2, Lpz., 1890-92. [5] Кuga M., ShimuraG., "Ann. Math.", 1965, v. 82, p. 478- 539. [6] Mazur В., Serre J.-P., в кн. Seminaire Bourbaki, 1974/75, В.-[u. A.], 1976, p. 238-55. [7] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, . В.- Hdlb.-N. Y., 1973-77;, [8] Weil A., "Math. Ann.", 1967, Bd 168, S. 149-56.

,. А. А. Панчишкин, А. И. Паршин..