Модулярная Группа

- группа Г всех дробно-линейных преобразований вида где - целые рациональные числа. М. Г. Отождествляется с факторгруппой , и является дискретной подгруппой в группе Ли . Здесь (соответственно ) - группа матриц - действительные (соответственноцелые) числа, М. Г. Является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими и соотношениями , т. Е. Является свободным произведением циклич. Группы порядка 2, порожденной S, и циклич. Группы порядка 3, порожденной ST (см. [2]). Интерес к М. Г. Связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью к-рых является фактор-пространство HIT, отождествляемое с фундаментальной областью GМ.

Г. Компактификация аналитически изоморфна комплексной проективной прямой, причем изоморфизм задается основной модулярной функцией . Фундаментальная область Gимеет конечную площадь Лобачевского т. Е. М. Г. Есть фуксова группа 1-го рода (см. [3]). Для решетки решетка , эквивалентна , т. Е. Получается из умножением элементов последней на ненулевое комплексное число Каждой решетке соответствует комплексный тор , аналитически эквивалентный неособой кубич. Кривой (эллиптич. Кривой). Это дает взaимнooднoзначное соответствие между точками факторпространства , классами эквивалентных решеток и классами (аналитически) эквивалентных эллиптич. Кривых (см. [3]). Исследование подгруппы М. Г. Представляет интерес в теории модулярных форм и алгебраических кривых.

Главной конгруэнц-подгруппой М. Г. Уровня (N - целое число) наз. Группа преобразований вида (1), у к-рых , . Подгруппа наз. Конгруэнцподгруппой, если для нек-рого числа N;наименьшее такое Nназ. Уровнем Примеры конгруэнц-подгрупп уровня N:группа преобразований (1) с с, делящимся на N, группа преобразований (1) с и . Индекс подгруппы в М. Г. Равен если N>2, р - простые числа и 6, если N-2, поэтому каждая конгруэнцтподгруппа имеет конечный индекс в М. Г. Каждой подгруппе конечного индекса в М. Г. Соответствует полная алгебраич. Кривая ( модуляр ная кривая), полученная из факторпространства , и накрытие . Изучение ветвления этого накрытия позволяет найти для конгруэнц-подгрупп Г образующие и соотношения, род кривой и доказать, что существуют подгруппы конечного индекса в М.

Г., не являющиеся конгруэнц-подгруппами (см. [3], [8], [7] т. 2). Изучение представлений М. Г. Началось в работах (см. [4], [6]) в связи с теорией модулярных форм. Такие представления интенсивно изучаются в рамках теории автоморфных форм (см. [7]). Многие результаты, относящиеся к М. Г., переносятся на случай арифметич. Подгрупп в алгебраич. Группах Ли. Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. С нем., М., 1968. [2] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. С франц., М., 1972. [3] Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, пер. С англ., М., 1973. [4] Неске Е., Mathematische Werke, 2 Aufl., Gott., 1970, S. 789- 918. To] Klein F., Fricke R., Vorlesungen ilber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd 1-2, Lpz., 1890-92.

[6] Kloosterman H. D., "Ann. Math.", 1946, v. 47, p. 317- 447. [7] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, B.- Hdlb.- N. Y., 1973-77. [8] Rankin R., Modular forms and functions, Camb., 1977. А. А. Панчишпин..