Модулярная Форма

одного комплексного переменного, эллиптическая модулярная форм а,- функция на верхней полуплоскости , удовлетворяющая при нек-ром фиксированном кусловию автоморфности. для любого элемента группы целочисленных матриц с определителем , и такая, что где . Целое число наз. Весом М. Ф. F. Если , то М. Ф. F наз. Параболической модулярной формой. Имеется также [8] определение М. Ф. Для всех действительных значений к. Пример М. Ф. Веса дает ряд Эйзенштейна (см. [4]) где звездочка означает, что при суммировании пара отбрасывается. При этом для нечетных kи где - число Бернулли. Множество М. Ф. Веса кесть комплексное векторное пространство, обозначаемое . При этом Прямая сумма образует градуированную алгебру, к-рая изоморфна кольцу многочленов от независимых переменных и (см.

[3]). Для каждого комплексный аналитически изоморфен эллиптич. Кривой, задаваемой уравнением где Дискриминант кубич. Многочлена в правой части равенства (2) есть параболич. М. Ф. Веса 12. где - функция Рамануджана (см. [1]). Для каждого целого вводятся модулярные формы высшего уровня N, удовлетворяющие условию (1) лишь для элементов конгруэнц-подгруппы уровня Nмодулярной группы. В этом случае с М. Ф. F связан голоморфный дифференциал на модулярной кривой , Известный пример М. Ф. Высшего уровня дают тэта-ряды целочисленных положительно определенных квадратичных форм к-рые суть М. Ф. Высшего уровня веса . В этом примере есть целое число, равное числу решений диофантова уравнения Теория М. Ф. Позволяет получать оценки, а иногда в точные формулы для чисел типа (такие, как сравнение Рамануджана а также исследовать их свойства делимости (см.

[7]). Получена наилучшая оценка для чисел типа (см. [2]). Важные арифметич. Приложения М. Ф. Связаны с рядами Дирихле преобразований Меллина М. Ф. F. Такие ряды Дирихле поддаются детальному изучению (оценки коэффициентов, свойства аналитичности, функциональное уравнение, разложения в эйлеровские произведения) ввиду наличия на модулярных кривых нетривиального кольца соответствий R. Для кривой это кольцо порождается соответствиями где g пробегает все представители элементов фактор множества Соответствия индуцируют действующие на пространстве М. Ф. Линейные операторы (операторы Гекке), к-рые самосопряжены относительно скалярного произведения Петерсона (см. [3], [7]). М. Ф., являющиеся собственными функциями операторов Гекке, характеризуются тем, что их преобразования Меллина разлагаются в эйлеровское произведение.

Другие продвижения в теорий М. Ф. Связаны с изучением модулярных кривых и ассоциированных с ними расслоений - многообразий Куги, а также с теорией бесконечномерных представлений адельных алгебраич. Групп. При этом теория М. Ф. Одного переменного успешно переносится на случай многих переменных (см. [6]). Обзор теоретико-числовых приложений М. Ф. Дан в [5]. Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. С нем., М., 1968. [2] Делинь П., "Успехи матем. Наук", 1975, т. 30, в. 5, с. 159-90. [3] Ленг С, Введение в теорию модулярных форм, пер. С англ., М., 1979. [4] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. С франц., М., 1972. [5] Итоги науки и техники, Алгебра. Топология, Геометрия, т. 15, М., 1977. [6] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, B.- Hdlb.- N.

Y., 1973-77. [7] ОggA., Modular forms and Dirichlet series, N. Y., 1969. [8] Rankin R., Modular forms and functions, Camb., 1977. А. А. Папчишкин..