Нётерово Интегральное Уравнение

- интегральное уравнение, для к-рого справедливы теоремы Нётера (см. Ниже). Пусть X- банахово пространство, А- линейный ограниченный оператор (отображение), отображающий Xв себя:- сопряженный с Аоператор, - линейное уравнение, где х- искомый, а у- заданный элементы пространства X. Пусть, далее, R(А)- совокупность всех , для к-рых уравнение (1) разрешимо (область значений оператора А), и N(А)- совокупность всех решений соответствующего однородного уравнения (нуль-пространство, или ядро оператора А). Отображение А(уравнение (1)) наз. нётеровым оператором (нётеровым уравнением), если выполняются следующие условия. 1) Определенный на всем банаховом пространстве оператор А(уравнение (1)) является нормально разрешимым, т.

Е. Уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения т. Е.для любого 2) Однородные уравнения (2) и (3) могут иметь лишь конечное число линейно независимых решений. Число где наз. Индексом оператора А(индексом уравнения Нётеров оператор с нулевым индексом наз. Фредгольмовым оператором (абстрактным), а соответствующее уравнение (1) - фредгольмовым уравнением. Напр., если V- вполне непрерывный оператор , то уравнение будет фредгольмовым. Его наз. Каноническим уравнением Фредгольма. Если в уравнении (4) вполне непрерывное отображение в нек-ром функциональном пространстве является интегральным оператором то уравнение наз. Интегральным уравнением Фредгольма.

Аналогично, если в уравнении Нётера (1) линейное отображение задается с помощью интегральных операторов, то его наз. Нётеровым интегральным уравнением. Ф. Нётер [1] рассмотрел интегральные уравнения с Гильберта ядром, тде несобственный интеграл понимается в смысле главного значения. Для уравнения (5) он установил справедливость трех теорем, называемых ныне теоремами Нётера (предполагается, что заданные и искомая функции действительны, непрерывны в смысле Гёльдера и ). 1)уравнение нормально разрешимо. 2) уравнение имеет конечный индекс. 3) индекс вычисляется по формуле. где обозначает приращение функции, заключенной в скобки. Теорема 3) впервые указала на существование таких линейных сопряженных интегральных уравнений, к-рые могут иметь различное число линейно независимых решений.

Кроме того, из этой теоремы вытекает, что индекс уравнения (5) не зависит от его вполне непрерывной части. Оператор Нётера иногда наз. Фредгольмовым, обобщенно фредгольмовым, Ф-оператором, F-оператором. Лит.:[1] Noether F., "Math. Ann.", 1921, Bd 82, S. 42-63. [2] Hикольский С. М., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1943, т. 7, .№ 3, с. 147-66. [3] Аткинеон Ф. В., "Матем. Сб.", 1951, т. 28, № 1, с. 3-14. [4] Крейн С. Г., Линейные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971. [5]Крачковский С. Н., Диканский А. С, в кн. Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 39-71. [6] Данилюк И. И., Нерегулярные граничные задачи на плоскости, М., 1975. [7] Прёсдорф 3., Некоторые классы сингулярных уравнений, пер. С нем., М., 1979. Б. В. Хведелидзе..