Первая Квадратичная Форма

метрическая форма, поверхности - квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к-рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Пусть поверхность задана уравнением где ии v - внутренние координаты на поверхности. - дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления du. Dv смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. Рис. 1). Квадрат главной линейной части приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr. и наз. Первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты П. К. Ф. Обычно обозначают через или в тензорных символах Тензор gij наз. Основным, или метрическим, тензором поверхности. П. К. Ф. Является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности.

П. К. Ф. Характеризует метрич. Свойства поверхности. Знание П. К. Ф. Позволяет вычислять длины дуг на поверхности. где t - параметр на кривой. Углы между кривыми на поверхности. где и - направления векторов, касательных к кривым (см. Рис. 2). площади областей на поверхности. Вид коэффициентов П. К. Ф. Существенно зависит от выбора координат на поверхности. П. К. Ф. Имеет т. Н. Ортогональный вид. в ортогональных координатах. Канонический в и д в полугеодезич. Координатах. Изотермический (изометрический) вид в изотермич. Координатах, Иногда поверхности характеризуются специальными видами П. К. Ф. Напр., Лиувилля поверхности характеризуются следующим видом П. К. Ф. П. К. Ф. Является инвариантом изгибания поверхности. Полная кривизна поверхности в данной точке может быть вычислена через коэффициенты только П.

К. Ф. И их производные (теоремы Гаусса). О связи П. К. Ф. С другими квадратичными формами поверхности и лит. См. В ст. Квадратичные формы поверхности. А. В. Иванов .