Переходная Функция

, вероятность перехода, - семейство мер, используемых в теории марковских процессов для определения распределения процесса в будущие моменты времени по известным состояниям в предшествующие моменты. Пусть измеримое пространство таково, что s-алгебра содержит все одноточечные подмножества из Е, и пусть Т- подмножество действительной прямой R. Функция Р(s, x. T, B), заданная при и , наз. Переходной функцией в измеримом пространстве , если. А) при фиксированных s, х, t она является мерой на , причем Р(s, х. T, В)1. Б) при фиксированных s, t, В она является -измеримой функцией точки х;в) . И для всех s, предельных для Тв правой топологии прямой R, г) при всех и из Твыполняется уравнение Колмогорова - Чепмена.

(*) (в нек-рых случаях требование в) опускают или ослабляют). П. Ф. Наз. Марковской переходной функцией, если , и субмарковской переходной функцией в противоположном случае. Если Ене более чем счетно, П. Ф. Задают с помощью матрицы вероятностей перехода (см. Переходные вероятности, Переходных вероятностей матрица). Нередко оказывается, что при любых допустимых s, х и tмера P(s, x', t, .) обладает плотностью p(s, x. T, .) относительно нек-рой меры. Если при этом выполнен следующий вариант уравнения (*). для любых х, z из Еи из Т, то функцию p(s, х. T, у).наз. Переходной плотностью. При широких условиях (см. [1], [2]) с П. Ф. P(s, x. T, В).можно связать марковский процесс Х=(xt,sz, ), для к-рого (в случае марковской П.

Ф. Этот процесс не обрывается). Наоборот, марковское свойство случайного процесса, как правило, позволяет сопоставить ему П. Ф. (см. [3]). Пусть Тоднородно в том смысле, что совокупность значений t-s при из Тобразует полугруппу в Rотносительно сложения (напр., T-R, Т={ }, Т={0, 1, 2, ...}). Если при этом П. Ф. P(s, x. T, В).зависит лишь от разности t-s, т. Е. Если P(s, x. T, B) = P(t-s, x, В), где P(t, x, B) - функция от подчиненная соответствующему варианту условий а) - г), то Р(s, x. T, В). Наз. Однородной переходной функцией. Последнее название присваивается и функции P(t, x, В), для к-рой (*) принимает форму Для нек-рых целей (напр., при регуляризации П. Ф.) оказывается необходимым расширить определение П. Ф. Напр., считают заданным семейство измеримых пространств а П.

Ф. Относительно этого семейства определяют как функцию P(s, x. T, В), где , удовлетворяющую подходящей модификации условий а) - г). Лит.:[1] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. С франц., М., 1969. [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973. [3] Кузнецов С. Е., "Теория вероятн. И ее примен.", 1980, т. 25, № 2, с. 389-93. М. Г. Шур.