Плотности Матрица

состояния r, определенного на алгебре ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ,- положительный ядерный оператор. Такой, что (1) причем . Обратно, всякое состояние r, т. Е. Линейный положительный () нормированный (r(E)=1) функционал на , представимо в виде (1), т. Е. Имеет П. М. Р и притом единственную. Впервые понятие П. М. Появилось в статистич. Физике при определении квантового состояния Гиббса. Пусть квантовая система, занимающая конечную область Vпространства , описывается векторами нек-рого гильбертова пространства и гамильтонианом. и обладает, быть может, нек-рым набором коммутирующих друг с другом "первых интегралов" ,...,, k=1, 2, . Состоянием Гиббса такой системы наз. Состояние на , задаваемое П.

М. (2) где Z - нормирующий множитель, а b>0, ml,...,mk - действительные параметры. Наряду с П. М. (2) состояние системы в квантовой статистич. Физике можно задавать с помощью т. Н. Приведенной матрицы плотности. В наиболее простом случае системы одинаковых частиц (бозонов или фермионов), описываемых векторами Фока пространства , приведенная П. М. состояния r представляет собой набор функций (вообще говоря, обобщенных) (3) где а ', - рождения операторы и уничтожения операторы соответственно, действующие в . В случаях, когда в алгебре вместо операторов рождения и уничтожения выбрана какая-нибудь другая система образующих - нек-рое множество индексов), приведенная П. М. Состояния определяется аналогично (3) как совокупность значений состояния r на всевозможных мономах вида Приведенная П.

М. Оказывается особенно удобной при определении предельного гиббсовского состояния на С*-алгебре так наз. Квазилокальных наблюдаемых. (черта означает замыкание в равномерной топологии). Лит.:[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., М., 1976 (Теоретическая физика, т. 5). [2] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. С англ., М., 1971. Р. А. Минлос.