Показательное Распределение

непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью (1) Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов. , в частности - для математич. Ожидания и дисперсии . Характеристич. Функция. (1-it/l)-1. П. Р. Входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью n-кратная свертка распределения (1) равна гамма-распределению с тем же самым параметром lи с a=п. П. Р.- единственное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия. Для любых х>0, у>0 выполняется равенство (2) где Р{ Х>х+у|Х>у} - условная вероятность события X>x+y при условии X>y. Свойство (2) называется также марковским свойством.

В однородном пуассоновском процессе расстояние между двумя последовательными скачками траектории имеет П. Р. Наоборот, процесс восстановления с показательным временем жизни (1) является пуассоновским процессом восстановления. П. Р. Часто возникает как предельное при суперпозиции или разрежении процессов восстановления, в задачах пересечения высокого уровня в различных схемах блуждания, в критических ветвящихся процессах и т. П. Упомянутыми выше свойствами объясняется широкое применение П. Р. При расчетах различных систем в теории массового обслуживания и в теории надежности. Предполагая времена занятости приборов случайными, независимыми друг от друга и распределенными показательно, можно благодаря свойству (2) изучать системы массового обслуживания с помощью конечных или счетных цепей Маркова с непрерывным временем.

Аналогичным образом используются цепи Маркова и в теории надежности, где времена исправной работы отдельных приборов часто можно предполагать независимыми и распределенными показательно. Лит.:[1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., т. 2, М., 1967. Б.