Положительное Расслоение

обобщение понятия дивизора положительной степени на римановой поверхности. Голоморфное векторное расслоение Енад комплексным пространством Xназ. Положительным (обозначается E>0), если в Есуществует такая эрмитова метрика h, что функция на Естрого псевдовыпукла вне нулевого сечения. Если X - многообразие, то условие положительности выражается в терминах кривизны метрики h. А именно, кривизны форме метрики hв расслоении Еотвечает эрмитова квадратичная форма Wна Xсо значениями в расслоении Herm Eэрмитовых эндоморфизмов расслоения Е, Условие положительности эквивалентно тому, что Wx(u) - положительно определенный оператор в Е х для любого и любого ненулевого В случае, когда Е - расслоение на комплексные прямые над многообразием X, условие положительности равносильно положительной определенности матрицы , где z1, .

., zn - локальные координаты на X, h>0 - функция, задающая эрмитову метрику при локальной тривиализации расслоения. Если Xкомпактно, то расслоение на комплексные прямые Енад Xположительно тогда и только тогда, когда Чжэня класс с 1 (Е).содержит замкнутую форму вида где ||jab|| - положительно определенная эрмитова матрица. В частности, если X - риманова поверхность, то расслоение над X. Определяемое дивизором степени d, положительно тогда и только тогда, когда d>0. В случае, когда Е - расслоение ранга >1 над многообразием Xразмерности >1, рассматривается также следующий более узкий класс П. Р. Расслоение наз. Положительным в смысле Накано, если на Есуществует такая эрмитова метрика h, что эрмитова квадратичная форма Нна расслоении , заданная формулой где , положительно определена.

Примеры. Касательное расслоение к проективному пространству Р n положительно, но при n>1 не является положительным в смысле Накано. Расслоение на комплексные прямые над Р n, определяемое гипер-илоскостью, положительно. Любое факторрасслоение положительного векторного расслоения положительно. Если Е', Е" - положительные (положительные в смысле Накано) расслоения, то и положительны (положительны в смысле Накано). Понятие "П. Р." было введено в связи с Кодаиры теоремой об обращении в нуль для случая расслоений на комплексные прямые, а затем обобщено на произвольные расслоения. Несколько позже, в связи с вопросом о существовании вложения в проективное пространство, были выделены понятия слабо положительного и слабо отрицательного расслоений.

Голоморфное векторное расслоение Енад компактным комплексным пространством X наз. Слабо отрицательным, если его нулевое сечение обладает строго псевдовыпуклой окрестностью в Е, т. Е. Является исключительным аналитич. Множеством. Расслоение Еназ. Слабо положительным, если сопряженное расслоение Е* слабо отрицательно. В случае, когда X - риманова поверхность, понятия слабо положительного и П. Р. Совпадают [5]. В общем случае из положительности вытекает слабая положительность. Примеров слабо положительных, но не положительных расслоений пока (1983) не известно. Слабая положительность расслоения равносильна каждому из следующих свойств. Для любого когерентного аналитич. Чка на Xсуществует такое m0>0, что пучок при порождается глобальными сечениями.

Для любого когерентного аналитич. Чка на Xсуществует такое , что для всех (см. [3], [4]). Через здесь обозначается пучок ростков голоморфных сечений расслоения Е. Слабо положительные расслоения аналогичны, таким образом, обильным векторным расслоениям из алгебраич. Геометрии и иногда наз. Обильными аналитическими расслоениями. Слабо положительное расслоение над пространством Xестественным образом определяет вложение пространства Xв многообразие Грассмана и тем самым в проективное пространство. Понятия положительного, отрицательного, слабо положительного и слабо отрицательного расслоений естественным образом обобщаются также на случай линейных пространств над комплексным пространством X(см. Векторное аналитическое расслоение).

См. Также Отрицательное расслоение. Лит.:[1] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. С англ., М., 1976. [2] Яжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. С англ., М., 1961. [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93-171. [4] Schneider M., "Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg", 1978, Bd 47, S. 150- i70. [5] Umemurа Н., "Nagoya Math. J.", 1973, v. 52,'p. 97-128. A. Л. Онищик.