Положительный Оператор

положительное отображение,- 1) П. О. В гильбертовом пространстве - линейный оператор А, для к-рого соответствующая квадратичная форма ( Ах, х).неотрицательна. П. О. Необходимо симметричен и допускает самосопряженное расширение, также являющееся П. О. Самосопряженный оператор Аявляется П. О. Тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий. А) А=В*В, где В- замкнутый оператор. Б) А=В 2, где В - самосопряженный оператор. В) спектр Асодержится в . Совокупность ограниченных П. О. В гильбертовом пространстве образует конус в алгебре всех ограниченных операторов. 2) П. О. В пространстве с конусом - отображение векторного пространства Xв себя, сохраняющее выделенный в Xконус К. Интегральные операторы с положительными ядрами в различных функциональных пространствах с выделенными конусами положительных функций являются линейными П.

О. При нек-рых дополнительных условиях на геометрию конуса Ки действие П. О. А удается установить существование А- собственных векторов из X(соответствующие собственные значения наз. Позитивными, или ведущими, они превосходят абсолютные величины всех остальных собственных значений). Напр., доказано (см. [3]), что если А - вполне непрерывный П. О. С ненулевым спектром, то его спектральный радиус является позитивным собственным значением. Условие компактности можно заменить условиями на поведение резольвенты (см. [4]). В случае нелинейных П. О. Исследуется вопрос о существовании неподвижной точки оператора (т. Е. Решения уравнения Ах=х).и о возможности нахождения этой точки как предела определенных рекуррентных последователей.

Нек-рые результаты теории П. О. Могут быть перенесены на операторы, оставляющие инвариантными выделенные подмножества более общей природы, чем конусы (см. [5]). 3) П. О. В инволютивной алгебре (*-алгебре) - линейное отображение *-алгебры А в инволютивную алгебру В, переводящее положительные элементы в положительные. Наиболее изучены П. О. С*-алгебр (являющиеся, поскольку положительные элементы С*-алгебры образуют конус, частным случаем П. О. Пространств с конусом). Имеет место неравенство Шварца для П. О. С*-алгебр. , если а=а*. Найдены крайние точки множества унитальных (т. Е. Сохраняющих единичный элемент) П. О. Изучались вполне непрерывные положительные операторы (в. Н. П. О.), то есть линейные отображения , для к-рых положительны все отображения матричных С*-алгебр М(А).в М(В).

Оказалось, что для в. Н. П. О. Справедлив аналог теоремы о продолжении положительного функционала. В. Н. П. О. С*- алгебры Ав нек-рую алгебру Неймана может быть продолжен до в. Н. П. О. Любой С*-алгебры, содержащей А. Если одна из С*-алгебр А, В коммутативна (и только в этом случае), то всякий П. О. Является в. Н. П. О. 4) П. О. В банаховом пространстве Е - линейный оператор Атакой, что , где К- положительный конус в Е. Собственный вектор А, лежащий в К, наз. Положительным, а соответствующее собственное значение - позитивным. Если К - воспроизводящий конус, А - вполне непрерывный положительный оператор и для нек-рого вектора и, не принадлежащего конусу - К, натурального ри a>0, то спектральный радиус r А оператора Аявляется позитивным собственным значением А, причем (теорема Крейна - Рутмана).

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. [2] Sherman S., "Amer. J. Math.", 1951, v. 73, № 1, p. 227-32. [3] Крейн М. Г., Рутман М. А., "Успехи матем. Наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 3-95. [4] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. С англ., М., 1971. [5] Красносельский М. А., Соболев А. В., "Докл. АН СССР", 1975, т. 225, № 6, с. 1256-59. [8] Красносельский М. А. [и др.], Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., 1966. [7] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. С франц., М., 1974. М Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962. В. С. Шульман, В. И. Ломоносов.