Поляризованное Алгебраическое Многообразие

- пара (V,x)>. Где V - полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV - класс нек-рого обильного обратимого пучка, PicoV-связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V - абелево многообразие, определено также понятие степени поляризации П. А. М. Она совпадает со степенью изогении , определяемой пучком , а именно . Где Т х - морфизм сдвига на . Поляризация степени 1 наз. Главной поляризацией. Понятие П. А. М. Тесно связано с понятием поляризованного семейства алгебраич. Многообразий. Пусть - семейство многообразий с базой S, то есть f - гладкий проективный морфизм схемы Xна нётерову схему S, слоями к-рого являются алгебраич. Многообразия. Поляризованным семейством наз.

Пара (X/S,x/S), где X/S - семейство с базой S,a x/S - класс относительно обильного обратимого пучка в Ноm (5, Pic X/S).по модулю Нот(S, PicoX/S), где Pic X/S- относительная схема Пикара. Введение понятий поляризованного семейства и П. А. М. Необходимо для построения пространств модулей алгебраич. Многообразий (см. Модулей теория). Так, напр., не существует пространства модулей всех гладких алгебраич. Кривых рода , а для поляризованных кривых такое пространство модулей существует [4]. Одним из первых вопросов, связанных с понятием поляризации многообразий, является вопрос об одновременном погружении в проективное пространство поляризованных многообразий с фиксированными численными инвариантами. Если (V,x) содержится в качестве слоя в поляризованном семействе (X/S,x/S) со связной базой S и относительно обильным пучком , то существует ли такая константа с, зависящая только от многочлена Гильберта , что при п>с пучки с многочленом Гильберта h(n).и с при i>0 очень обильны для всех П.

А. М. (Xs,xs), где . Для гладких П. А. М. Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 ответ на этот вопрос положителен [3], а в случае поверхностей основного типа с канонич. Поляризацией константа сне зависит даже от многочлена Гильберта (см. [1], [2]). Лит. [1] Bombieri E., "Рubl. Math. IHES", 1972, М 42, р. 447-95. [2] Коdairа К., "J. Math. Soc. Jap.", 1968, v. 20, № 1-2, p. 170-92. [3] Matsusakа Т., Мumford D., "Amer. J. Math.", 1964, y. 86, № 3, p. 668-84. [4] Mumford D., Geometric invariant theory, В., 1965. В. С. Куликов.