Поляритет

, полярное преобразование,- корреляцияp, для к-рой p2=id, то есть p(Y) =Xтогда и только тогда, когда p(X)=Y. П. Разбивает все подпространства на пары, в частности, если пара образована подпространствами S0 и Sn-1, где S0=n(Sn-1) - точка, а Sn-1=p(S0) -гиперплоскость, то S0 наз. Полюсом гиперплоскости Sn-1, a Sn-1 наз. Полярой точки S0. Пространство П п (К).над телом Кобладает П. Тогда и только тогда, когда тело допускает инволютивный инверсный автоморфизм a (т. Е. A2=id). Пусть p представляется полубилинейной формой fa(x, у). Тогда p будет П. В том и только в том случае, когда из fa( х, y) = 0 следует fa(y, x) = 0. Поляритет p является либо симплектической корреляцией, характеризующейся тем, что для любой точки Р(в этом случае f ( х, у).является кососимметрич.

Формой на An+1, а К - полем), либо p представляется a-симметрич. Формой на А n+1:a(fa(x,y))=fa(y,x). (симметрический П.), в этом случае существование нестрого изотропного нулевого подпространства равносильно тому, что характеристика тела саг К=2 (в частности, если Саг К 2, то любое нулевое подпространство строго изотропно). Относительно поляритета p определяется разложение проективного пространства на подпространства, позволяющее привести полубилинейную форму, представляющую p, к канонич. Виду. Важнейшими среди них являются. М - максимальное неизотропное нулевое подпространство, его размерность n(p)-1, где пчетно и наз. Дефектом p, f кососимметрична. U- максимальное строго изотропное нулевое подпространство, его размерность i(p)- 1, iназ.

Индексом, . J- компонента, свободная от нулевых подпространств, неизотропна, причем f является положительно или отрицательно определенной, . W=M+U - максимальное нулевое подпространство, его размерность i(p)+n(p)-1. Проективное преобразование Fназ. P-допустимым (относительно поляритета p), если pF=Fp. Полулинейное преобразование тогда и только тогда индуцирует p-допустимое проективное преобразование, когда в K существует стакое, что =cj(f(x,y)).p-допустимые преобразования образуют группу С p (наз. Группой П.). Если группа Gp транзитивна, то либо каждая точка пространства ПД является нулевой (и С p в этом случае наз. Симплектической), либо нет ни одной нулевой точки (и Gp наз. В этом случае ортогональной при a=id и унитарной при ).

Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978. М. И. Войцеховский.