Представимый Функтор

ковариантный (или контравариантный) функтор Fиз нек-рой категории в категорию множеств , изоморфный одному из основных теоретико-множественных функторов. Функтор представим тогда и только тогда, когда найдутся такие объект и элемент , что для каждого элемента , существует единственный морфизм , для к-рого x=aF(a). Объект Аназывается представляющим функтор F;он определен однозначно с точностью до изоморфизма. В категории множеств тождественный функтор представим. Представляющим объектом служит одноточечное множество. Функтор взятия нек-рой декартовой степени также представим. Представляющим объектом служит множество, мощность к-рого равна этой степени. В произвольной категории произведение П. Ф. Fi с представляющими объектами , представимо тогда и только тогда, когда в этой категории существует копроизведение объектов Ai.

Всякий ковариантный П. Ф. Перестановочен с пределами, т, е. Непрерывен. П. Ф.- аналог понятия "свободная универсальная алгебра с одним образующим". Для любого функтора и П. Ф. Fмножество естественных преобразований Nat(F, G) изоморфно множеству G(A), где А - представляющий объект. Это показывает, что П. Ф. Являются свободными объектами категории функторов. Для аддитивных категорий вместо функторов со значениями в рассматриваются аддитивные функторы со значениями в категории абелевых групп. Поэтому под П. Ф. Понимается аддитивный функтор, изоморфный основному аддитивному функтору. Понятие П. Ф. Первоначально возникло в алгебраич. Геометрии (см. [2]). Наиболее важными примерами П. Ф. Здесь являются функторы Пикара Pic X/S и Гильберта Hilb X/S, представимые в категории алгебраических пространств (см.

[1]). Пусть К - поле частных регулярного дискретного нормированного кольца О с совершенным полем вычетов. Если Х 0- гладкая геометрически неприводимая собственная кривая рода g>0 над К, то ее минимальная модель представляет функтор из категории регулярных O-схем. Если А - абелево многообразие над К, то его минимальная Нерона модель является гладкой групповой схемой , представляющей функтор из категории гладких О-схем. Лит.:[1] Артин М., "Математика", 1970. Т. 14, М 4, с. 3-39. [2] Гротендик А., Дьёдонно Ж., "Успехи матем. Наук", 1972, т. 27, в. 2, с. 135-48. С. Г. Танкеев, М. Ш. Цаленко.