Представлений Теория

теория, изучающая гомоморфизмы полугрупп (в частности, групп), алгебр или других алгебраич. Систем в соответствующие системы эндоморфизмов нек-рой подходящей структуры. Особенно часто рассматриваются линейные представления, т. Е. Гомоморфизмы полугрупп, групп, ассоциативных алгебр или алгебр Ли в полугруппу, группу, алгебру линейных преобразований нек-рого векторного пространства V. Такое представление наз. Также линейным представлением в пространстве V, а Vназ. Пространством представления. Часто под П. Т. Понимают именно теорию линейных представлений. Если пространство Vконечномерно, то его размерность наз. Размерностью представления, а само представление - конечномерным. Таким образом, различаются конечномерные и бесконечномерные представления.

Представление наз. Точным, если оно инъективно. Изучение линейных представлений полугрупп, групп и алгебр Ли сводится к изучению линейных представлений ассоциативных алгебр. А именно, линейные представления полугрупп (линейные представления групп).в пространстве Vнад полем kнаходятся в естественном взаимно однозначном соответствии с представлениями соответствующей полугрупповой (групповой) алгебры над kв пространстве V. Представления алгебры Ли Lнад kвзаимно однозначно соответствуют линейным представлениям ее универсальной обертывающей алгебры. Задание линейного представления j ассоциативной алгебры Ав пространстве Vравносильно заданию на Vструктуры A-модуля, называемого модулем представления j. При рассмотрении представлений группы G или алгебры Ли Lговорят также о G-модулях или L-модулях (см.

Модуль). Гомоморфизмы модулей представлений наз. сплетающими операторами,. Изоморфным модулям соответствуют эквивалентные представления. Подмодуль модуля Vпредставления j - это подпространство , инвариантное относительно j. Индуцируемое в Wпредставление наз. Подпредставлением, а представление, индуцируемое в фактормодуле V/W,- факторпредставлением представления ф. Прямые суммы модулей соответствуют прямым суммам представлений, неразложимые модули - неразложимым представлениям, простые модули - неприводимым представлениям, а полупростые модули - вполне приводимым представлениям. Определяются также тензорное произведение линейных представлений, внешняя и симметрич. Степени представления (см. Тензорное произведение представлений).

Наряду с абстрактной (или алгебраической) П. Т. Существует теория представлений топологич. Объектов, напр. Топологич. Групп или банаховых алгебр (см. Непрерывное представление, Представление топологической группы). О. А. Иванова.