Проективная Алгебра

в узком смысле - алгебра точек на проективной прямой. Проективно-инвариантные конструкции для определения сложения и умножения точек проективной прямой l, расположенной в нек-рой проективной плоскости p, для к-рой выполняется Дезарга предложение. Эти конструкции зависят от выбора на l трех различных точек О, Е, U. Конструкция I определяет для любых двух точек Аи В, отличных от U, третью точку А+В, также отличную от Uи называемую суммой точек A и В. Для этого в плоскости p проводятся три прямые а, b и u, отличные от l, не проходящие через одну точку и проходящие соответственно через точки А, В и U. Пусть Р - точка пересечения прямых ии a, Q- точка пересечения прямых ии b, R - точка пересечения прямых OQ и a, S - точка пересечения прямых b и UR.

Тогда прямая PS пересекает прямую lв определенной точке Т=А+В (общий случай - на рис. 1). Оказывается, так построенная точка зависит лишь от А, В, О, U и не зависит от выбора прямых и точки Е. Конструкция II определяет для любых двух точек Аи В, отличных от U, третью точку А . В, также отличную от U, называемую произведением точек A и В. Для этого в плоскости проводятся три прямые а, b, и, проходящие соответственно через точки А, Ви U, отличные от lи не проходящие через одну точку. Пусть Р - точка пересечения прямых ии a, Q - точка пересечения прямых ии b, R - точка пересечения прямых EQ и a, S - точка пересечения прямых OR и b. Тогда прямая PS пересекает прямую lв определенной точке Т=А . В (общий случай - на рис.

2). Оказывается, так построенная точка зависит лишь от А, В, О, Е, U, но не зависит от выбора прямых a, b и u. Относительно этих операций сложения и умножения точки прямой l(отличные от U).образуют тело К ( О, Е, U). Поменяв ролями Аи Вв конструкции II, получают инверсно изоморфное тело K*(О, Е, U). Если О', Е', U' - любая другая упорядоченная тройка точек на прямой l из той же плоскости p, то соответствующее тело К'( О', Е', U').изоморфно К( О, Е, U).вследствие того, что между прямыми lи l' существует проективное соответствие. Поэтому любое тело К, изоморфное им, наз. Просто телом данной проективной плоскости (или даже данной проективной геометрии). Говорят также, что имеет место проективная геометрия над телом К.

В общих случаях конструкций I и II фигурируют четыре лежащие в одной плоскости точки Р, Q, R, S, никакие три из к-рых не коллинеарны. Они образуют т. Н. (полный) четырехвершинник с тремя парами противоположных сторон PQ, RS. PS, QR. PR, QS. Точки пересечения Z, X, Y этих пар противоположных сторон называется диагональными точками, а прямые, соединяющие диагональные точки,- диагоналями. Специальный случай, не показанный на рисунке, соответствует той ситуации, когда X, Y, Z коллинеарны (см. Фано постулат). Аналогичные построения проводятся и в пучке прямых, проходящих через одну точку с использованием (полного) четырехсторонника - фигуры, двойственной четырехвершиннику, и приводят к телу К*, инверсно изоморфному К.

Свойства проективной прямой lкак алгебраич. Системы определяются геометрическими (проективно-ин-вариантными) свойствами проективной плоскости, в к-рой она расположена. Так, напр., коммутативность Кэквивалентна выполнению Паппа аксиомы;то, что характеристика Кне равна 2, эквивалентно постулату Фано. При отсутствии автоморфизмов у тела К, отличных от внутренних, любое проективное преобразование есть коллинеаиия, и т. Д. С помощью тела Кна прямой, а затем и в проективном пространстве, ее содержащем, вводятся проективные координаты, описывающие алгебраич. Модель проективного пространства, так что содержание проективной геометрии по существу определяется свойствами того тела К, над к-рым она построена.

В широком смысле П. А. Исследует совокупность подпространств проективного пространства, являющуюся дедекиндовой решеткой с дополнениями. При этом конечномерности пространства не требуется, но накладываются условия полноты, существования однородного базиса и т. Д., благодаря чему устанавливаются разнообразные связи с теорией простых и регулярных колец, теорий операторных абелевых групп и др. Разделами алгебры. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. С англ., т. 1, М., 1954. [2] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. М. И. Войцеховский.