Проективная Плоскость

двумерное проективное пространство,- инцидентностная структура , где элементы множества наз. Точкам и, элементы множества - прямыми, а I - отношение инцидентности. Инцидентностная структура удовлетворяет следующим аксиомам. 1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL и qIL. 2) для любых двух различных прямых Lи Мсуществует единственная точка ртакая, что pIL и рIМ. 3) существуют четыре точки, никакие три иа к-рых не инцидентны одной прямой. Напр., пучок П прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства, проходящих через точку О, является П. П., если в качестве проективной точки считать прямую пучка П, а в качестве проективной прямой - плоскость из П.

В этой интерпретации получают прозрачный геометрич. Смысл однородные координаты точки П. П. Над полем как координаты какого-либо вектора прямой, изображающей эту точку (см. Проективная геометрия, Проективные координаты), Другим примером является П. П., состоящая из семи точек Ai, i=l, . ., 7, и семи прямых {A1, А 2, A4}, {A2, А 3, А 5}, {А 3, A4, А 6},{A4, А 5, А 7), {А 5, A6, А 1}, {А 6, A7, A2}, {A7, A1, A3} (рис. 1),- представитель класса конечных проективных плоскостей. П. П. Р(2, п).наз. Конечной проективной плоскостью порядка п, если отношение инцидентности удовлетворяет еще одной аксиоме. 4) существует прямая, инцидентная ровно n+1 точке. В Р(2, п).каждая точка (прямая) инцидентна n+1 прямой (точке), а число точек плоскости равно числу прямых и равно n2+n+1.

Остается невыясненным (1983) вопрос, для каких значений псуществует П. П. Р(2, п). Доказано существование конечной П. П., порядок к-рой есть степень простого числа (см. [4]). Доказано также (см. [5]) отсутствие П. П. Р(2, п).для широкого класса чисел. Если псравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то Р(2, п).не существует. Таковы, напр., n=6, 14, 21, 22, . Вопрос относительно n=10, 12, 15, 18, . Остается открытым. Важной задачей теории конечных П. П. Является изучение подплоскостей заданной плоскости P(2, п). Так, если Р(2, т).является собственной подплоскостью конечной П. П. Р(2, п), то или m2=n (см.

[5]). Специфическим для П. П. Является понятие двойственности. Две П. П. Наэ. Двойственными, или дуальными, если между точками (прямыми) одной плоскости и прямыми (точками) другой можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность. Нек-рые П. П. (напр., П. П. Над полем k).допускают двойственное отображение на себя, к-рое наз. Корреляцией, а П. П., допускающие корреляцию, наз. Автодуальными. Для П. П. Имеет место т. Н. Малый принцип двойственности. Если верно нек-рое предложение о точках и прямых П. П., сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно предложение , двойственное , т. Е. Предложение, к-рое получается из заменой слова "точка" на слово "прямая" и наоборот. Изоморфное отображение П.

П. На себя наз. Коллинеацией. Коллинеация конечной П. П. Р(2, n) является подстановкой множества точек и подстановкой множества прямых, причем эти подстановки подобны. Конечная П. П. Наз. Дезарговой, если она имеет группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее точках. Группа коллинеаций дезарговой П. П. PG(2, ph).имеет порядок Группа коллинеаций недезарговой П. П. Р(2, п).имеет порядок, не превосходящий // .