Проективные Координаты

взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства П n (К). (проективными подпространствами Sq).и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела К. П. К. Подпространств Sq при q>0 (наз. Также грассмановыми координатами) определяются через координаты точек (0-мерных подпространств), лежащих в Sq, и потому достаточно определить П. К. Точек проективного пространства. Пусть в совокупности строк ( х 0, х 1, . ., х п)=х не равных одновременно нулю элементов тела К(к-рые наз. Также однородными Координатами точек) введено отношение эквивалентности слева (справа). х~у, если существует такое, что х i=l у i ( х i=у il), i=0, . ., n. Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек проективного пространства .

Если интерпретируется как множество прямых левого (правого) векторного пространства , то однородные координаты точки Мимеют смысл координат векторов, принадлежащих прямой l, представляющей эту точку, а П. К.- совокупности всех таких координат. В общем случае П. К. Точек проективного пространства ПД относительно нек-рого базиса вводятся чисто проективными средствами (при обязательном выполнении в П n Дезарга предложения).следующим образом. Множество sn(n+1) независимых точек А 0, . ., А п пространства П n наз. Симплексом, при этом точки А 0, . ., А i-1, Ai+t, . ., А п также независимы и определяют-век-рое подпространство Sn-1=Si, наз. Гранью этого симплекса. Существует нрк-рая точка Е, не лежащая ни на одной из граней Si.

Пусть i0, i1, . ., in- любая перестановка чисел О, 1, . ., п. Точки , и Еоказываются независимыми и определяют нек-рое Sn-k. Далее, точки определяют тоже нек-рое Sk, а так как суммой Sk и Sn-k является все пространство П n, то Sk и Sn-k имеют в точности одну общую точку Е i0...ik не лежащую ни в одном из (k-1)-мерных подпространств, определяемых точками при этом также независимы. Таким образом получается 2n+1-1 точек , включая точки Ei=Ai и Е 0...п=Е, к-рые и образуют репер пространства Sn=П n. Симплекс sn является его остовом. На каждой прямой AiAj имеются три точки Ai, Aj, Eij, пусть они играют роль точек О, U, К в определении тела Крассматриваемой проективной геометрии (см. Проективная алгебра). Тела К( А i, Е ij, Aj).и К( А k, Е kl, А l) изоморфны друг другу, причем изоморфизм устанавливается проективным соответствием между точками двух прямых AiAj и AkAl таким, что точки А k, Ekl, Al отвечают точкам А i, Eij, Aj.

Элемент тела К, соответствующий точке Рпрямой AiAj, наз. Проективной координатой р точки Рв шкале (( А i, Е ij, Aj). В частности, П. К. Е ij всегда равна 1, а П. К. Рв шкале (( А j, Е ij, Ai).есть p* = р -1. Пусть Р - точка пространства, не лежащая ни на одной из граней симплекса sn. А 0, . .., А n, обращающего вместе с нек-рой точкой Ерепер R. Если использовать точку P вместо Ев вышеприведенной конструкции репера, то получится последовательность точек Р i, Р ij, Pijk, ..., где лежит в подпространстве, определяемом (но не лежит ни в одной из гра ней симплекса sk, образованного этими точками). Пусть Р ij - координата точки Р ij (лежащей на А i А j).в шкале ( А i, Е ij, Aj). Тогда если i, j, k попарно различны, то Пусть x0 - произвольный элемент К, отличный от нуля, а (при этом оказывается, что ).

Тогда совокупность эквивалентных между собой строк, определяемых различными элементами х 0, и дает П. К. Точки Ротносительно репера R. Пусть Рлежит в подпространстве Sk, определяемом точками , но не лежит ни в одной из граней симплекса, определяемого этими точками. Пусть совокупность эквивалентных строк является П. К. Точки Ротносительно репера Rподпространства Sk, определяемого симплексом sk и точкой Ei0...ik. Тогда П. К. Точки Ротносительно репера Rзадаются следующим образом. Yi=xi, i=i0, . ., ik. Yi=0, i i0,. ., ik. Любая совокупность эквивалентных между собой слева (справа) (n+1) строк, построенная вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной точке Рпространства ПД и определяет поэтому в нем П. К. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер.

О англ., т. 1, М., 1954. М. И. Войцеховский.