Проективное Пространство

совокупность всех подпространств инцидентностной структуры p-= , где элементы множества наз. Точками, а элементы множества - прямыми, I - отношение инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры p наз. Подмножество S множества , для к-рого справедливо условие. Если , то Множество точек прямой, проходящей через точки ри q, также принадлежат S. Инцидентностная структура p удовлетворяет следующим требованиям. 1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL, qIL. 2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя точками. 3) если две различные прямые L, M пересекаются в точке ри выполнено qIL и rIL,a sIM, tIM, то прямые, проходящие через пары точек r, t и s, q, пересекаются.

Подпространство Sпорождено множеством sточек из (пишут S=<s>), если Sявляется пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s наз. Независимым, если для любого имеет место . Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства Sназ. Базисом S, а число его элементов d(S) - размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 - проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз. проективной плоскостью. В П. Н. Определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Р m+Р k подпространств Р m и Pk наз. Наименьшее из подпространств, содержащее и Р m, и Pk. Пересечением подпространств Р m и Р k наз. Наибольшее из подпространств, содержащееся и в Р m, и в Pk.

Размерности подпространств Р m, Р k, их суммы и пересечения связаны соотношением Для любого Р m существует Pn-m-1 такое, что Р тPn-m-1=P-1= И Pm +Pn-m-1= Pn (Pn-m-1- дополнение Р т в Pn), и если Р т Р r, то для любого Pk (дедекиндово правило), т. Е. Относительно введенных операций П. П. Является дедекиндовой решеткой с дополнениями. П. П. Размерности больше двух дезаргово (см. Дезарга предложение), а следовательно, изоморфно П. П. (левому или правому) над подходящим телом k (см. [1]). (напр., левое) размерности пнад телом k - совокупность линейных подпространств нек-рого (n+1 )-мерного левого линейного пространства над телом k;точками являются прямые , т. Е. Множества классов эквивалентности слева строк ( х 0, x1, .

., х п), составленных из элементов тела kи не равных одновременно нулю (строки (x0, x1, . ., х n).и (y0, y1, . ., yn).эквивалентны слева, если существует такое , что xi=lyi, i=0, l, . ., n). Подпространствами являются (n+1 )-мерные подпространства . Можно установить нек-рое соответствие между левым и правым П. П., при к-ром подпространству соответствует (подпространства и наз. Дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме - пересечение. Если нек-рое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для , то справедливо и соответствующее утверждение для . Это соответствие между свойствами пространств и наз. Принципом двойственности для П.

П. (см. |2]). Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное П. П. Размерности больше двух и порядка qизоморфно П. П. Над Галуа полем PG(n, q). Конечное П. П. Р( п, q).содержит (q п+1-1)/(q-1) точек и подпространств размерности r(см. [4]). Коллинеацией П. П. Является перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация П. П. Имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-ций конечного П. П. PG(n, ph).имеет порядок, равный Каждое П. П. PG(n, q).допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [3]). Корреляцией d П.