Производящий Оператор

полугруппы - производная в нуле от полугруппы линейных ограниченных операторов , действующих в комплексном банаховом пространстве X. Если T(t).непрерывна по норме операторов, то она имеет вид T(t)= е tA0, где А 0 - ограниченный оператор, (1) при любом и А 0 есть П. О. T(t). Обратно, если предел слева существует при всех , то . Более сложная картина возникает, когда Т(t).только сильно непрерывная полугруппа. В этом случае предел (1) существует не при всех х. Оператор А 0, определенный на линейном множестве D(A0).всех тех х, для к-рых предел существует, является линейным неограниченным оператором и наз. Инфинитезимальным оператором. В частности, A0 определен на всех элементах вида . Если обозначить через Х 0 замыкание объединения областей значений всех операторов Т(t), t>0, то D( А 0).плотно в Х 0 и, более того, плотно в Х 0.

Все значения оператора А 0 также лежат в Х 0. Если оператор А 0 неограничен, то D(A0).является множеством первой категории в Х 0. Если в Х 0 нет элементов х, на к-рых , то оператор А 0 допускает замыкание , к-рое и наз. Производящим оператором полугруппы Т(t). В этом случае при (2) Равенство (2) определяет замкнутый оператор А, к-рый, вообще говоря, шире, чем замыкание А 0. Его иногда наз. Обобщенным производящим оператором полугруппы Т(t). На множестве DR тех же , для к-рых сходится несобственный интеграл (3) определен оператор при Re l>w, где w - тип полугруппы Т(t). Этот оператор обладает свойствами. Если интеграл (3) абсолютно сходится при любом , то П. О. Асуществует тогда и только тогда, когда из , следует х=0;оператор R (l) ограничей, и, если Х 0=Х, он совпадает о резольвентой оператора А.

Для того чтобы А 0 был замкнутым ( А = А 0), необходимо и достаточно, чтобы при любом . Основной задачей теории полугрупп операторов является установление связи между свойствами полугрупп и свойствами их П. О., причем последние обычно формулируются в терминах операторов R(l). Лит.:[1]Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. С англ., М., 1962. [2] Забрейко П. П., Зафиевский А. В., "Докл. АН СССР", 1969. Т. 189, № 5, с. 934-37. [З] его ж е, там же, 1970, т. 195, № 1, с. 24-27. С. Г. Крейн.