Произвольных Постоянных Вариация

метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея метода П. П. В. Состоит в том, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородной системы, заменяются функциями независимой переменной, к-рые подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной системе. В конкретных задачах этот метод применялся еще Л. Эйлером (L. Euler) и Д. Бернулли (D. Bernoulli), но его полная разработка принадлежит Ж. Лагранжу [1]. Пусть рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы (1) где - суммируемые на каждом конечном отрезке отображения, .

Если Ф(t) - фундаментальная матрица решений однородной системы (2) то ,- общее решение этой системы. П. П. В. Представляет собой замену переменных в системе (1). и приводит кформуле Коши для решения задачи (1). к-рую наз. Иногда формулой вариации (произвольных) постоянных (см. Также Линейное дифференциальное уравнение обыкновенное). Идею П. П. В. Иногда удается использовать в более общей нелинейной ситуации для описания связи решений возмущенной полной системы и решений невозмущенной укороченной системы (см. [3], [4]). Напр., для решения х(t).задачи (где А, f - непрерывные отображения и где обеспечивается условие единственности решения) справедлива формула П. П. В., являющаяся интегральным уравнением. здесь Ф(t) - фундаментальная матрица решений системы (2).

Лит.:[1] Lagrangе J., (Euvres, t. IV, P., 1869, p. 151 - 251. [2] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 5 изд., М., 1983. [3] Алексеев В. М., "Вести. Моск. Ун-та", 1961, № 2, с. 28-36. [4] Рейзинь Л. Э., Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений, Рига, 1971. Н. X. Розов.