Простая Полугруппа

- полугруппа, не содержащая собственных идеалов или конгруэнции того или иного фиксированного типа. В зависимости от рассматриваемого тина возникают различные типы П. И. Идеально простая - не содержащая собственных двусторонних идеалов (термин "П. П." часто относят только к таким полугруппам), простая слева (справа) - не содержащая собственных левых (правых) идеалов, 0-простая (слева, справа) - полугруппа с нулем, не содержащая собственных ненулевых двусторонних (левых, правых) идеалов и не являющаяся двухэлементной полугруппой с нулевым умножением, бипростая - состоящая из одного -класса (см. Грина отношения эквивалентности),0-бипростая - состоящая из двух - классов, один из к-рых нулевой, простая относительно конгруэнции - не имеющая конгруэнции, кроме универсального отношения и отношения равенства.

Всякая простая слова или справа полугруппа бипроста. Всякая бипростая полугруппа идеально проста, но существуют идеально П. П., не являющиеся бипростыми (и даже такие, что все их -классы одноэлементны). Важнейшим типом идеально П. П. (0-простых полугрупп) является вполне простая полугруппа (вполне 0-простая полугруппа). Важнейшие примеры бипростых, но не вполне П. П. Бициклическая полугруппа, четырехспиральная полугруппа Sр 4 (см. [11]) - это полугруппа, заданная порождающими а, b, с, d и определяющими соотношениями а 2=а, b2=b, с 2=с, d2=d, ba=a, ab=b, bc=b, cb=c, dc=c, cd=d, da=d;полугруппа Sp4 изоморфна рисовской полугруппе матричного типа над бициклич. Полугруппой с порождающими и, v, где uv=1, с сэндвич-матрицей Четырехспиральная полугруппа является в нек-ром смысле минимальной среди бипростых и не вполне П.

П., порожденных конечным числом идемпотентов, и нередко возникает как подполугруппа таких полугрупп. Простые справа полугруппы (п. С. П.) наз. Также полугруппами с правым делением или полугруппами с правой обратимостью. Основанием для этих терминов является следующее свойство таких полугрупп, эквивалентное определению. Для любых элементов аи bсуществует элемент хтакой, что аx=b. П. С. П., содержащие идемпотенты,- это в точности правые группы. Важный пример п. С. П. Без идешютентов доставляет полугруппа Т( М,d, р, q).всех таких преобразований j множества М, что 1).ядро j равно отношению эквивалентности d на М,2) мощность фактормножества M/d равна р,3) множество Mj пересекается с каждым d-классом не более чем по одному элементу, 4) множество d-классов, не пересекающихся с Му, имеет бесконечную мощность q, причем .

Полугруппа Т( М,d, р, q).наз. Полугруппой Тесье типа ( р, q), а в случае, когда d - отношение равенства, она наз. Полугруппой Бэра -Леви типа ( р, q).(см. [6], [7J). Полугруппа Тесье - пример п. С. П. Без идемпотентов, не обязательно удовлетворяющей правостороннему закону сокращения. Всякая п. С. П. Без идемпотентов вкладывается в подходящую полугруппу Тесье, а всякая п. С. П. Без идемпотентов и с правосторонним законом сокращения вкладывается в подходящую полугруппу Бэра - Леви (причем в обоих случаях можно выбрать р=q). Различные типы П. П. Часто возникают в качестве "блоков", из к-рых строятся рассматриваемые полугруппы. По поводу классич. Примеров П. П. См. Вполне простая полугруппа, Брандта полугруппа, Правая группа.;о бипростых инверсных полугруппах (в том числе структурные теоремы при нек-рых ограничениях на полурешетку идемпотентов) см.

|1], [8], [9]. Существуют идеально простые инверсные полугруппы с произвольным числом -классов. При изучении вложений полугрупп в П. П. Обычно либо указываются условия для возможности соответствующего вложения, либо устанавливается, что всякая полугруппа вкладывается в подходящую П. П. Рассматриваемого типа. Напр., любая полугруппа вкладывается в бипростую полугруппу с единицей (см. [1]), в бипростую полугруппу, порожденную идемпотентами (см. [10]), в простую относительно конгруэнции полугруппу (к-рая может обладать теми или иными наперед заданными свойствами. Наличие или отсутствие нуля, полнота, пустота подполугруппы Фраттини и т. Д., см. [3] - [5]). Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер.

С англ., т. 1-2, М., 1972. [2] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960. [3] Боиуть Л. А., "Сиб. Матем. Ж.", 1963, т. 4, N5 3, с. 500-18. [4] Шутов Э. Г., "Матем. Сб.", 1963, т. 62, М5 4, с. 496-511. [5] Климов В. Н., "Сиб. Матем. Ж.", . 973, т. 14, № 5, с. 1025-36. [6] Ваеr В., Lеvi F., "Sitzungsber. Heidelberg. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl.", 1932, Abh. 2, S. 3-12. [7] Теissiеr М., "Compt. Rend. Acad. Sci.", 1953, v. 236, № 11, p. 1120 - 22. [8] Munn W. D., в кн. Semigroups, N. Y.- L., 1969, p. 107-23. [9] Ноwie J., An introduction to semigroup theory, L.- [a. O.], 1976. [10] Pastijn F., "Semigroup Forum", 1977, v. 14, № 3, p. 247- 263. [11] Вуleen K., Meakin J., Pastijn F., "J. Algebra", 1978, v. 54, p. 6-26. Л. Н. Шеврин.