Пучок

- 1) П.- предпучок F такой, что для всякого объединения открытых подмножеств Ul. Топологич. Пространства Xвыполнены следующие условия. 1) если ограничения на каждое Ul элементов sи s' из F(U).совпадают, то s'=s";2) если таковы, что для любой пары индексов l, m ограничения sl и sm на совпадают, то существует элемент , ограничения к-рого на все Ul. Совпадают с sl. Всякий П. На Xизоморфен П. ростков непрерывных сечений некоторого накрывающего пространства над X, к-рое определяется однозначно с точностью до изоморфизма (под накрывающим пространством понимается непрерывное отображение E на X, являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под П. Обычно понимается также и само накрывающее отображение (см. Пучков теория).

Е. Г. Спляренко. 2) П.- однопараметрическое семейство линий на плоскости или поверхностей в пространстве, линейно зависящее от параметра. Пусть F1 и F2 - функции двух переменных, непропорциональные друг другу. Семейство линий на плоскости, определяемых уравнением при всевозможных значениях параметров l1 и l2 (кроме l1=0, l2=0), представляет собой П. (фактически П. Зависит от одного параметра l1 . L2). Аналогично записывается уравнение П. Поверхностей в пространстве. Два уравнения F1=0, F2=0 дают два элемента П. (две линии или две поверхности), к-рые определяют весь П. Каждые два элемента П. Пересекаются по одному и тому же множеству точек - носителю. Носитель П. Может содержать как действительные, так и мнимые точки.

Если исходные кривые П. Являютcя алгебраич. Кривыми порядков ти п, то носитель состоит из тп точек (действительных или мнимых, собственных или несобственных). Пучок прямых - множество всех прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через фиксированную точку (собственный П.) или параллельных фиксированной прямой (несобственный П.). Уравнение П. Прямых имеет вид Пучок плоскостей - множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (собственный П.) или параллельных нек-рой фиксированной плоскости (несобственный П.). Уравнение П. Плоскостей имеет вид Пучок окружностей - однопараметрическое семейство окружностей, линейно зависящее от параметра. П. Окружностей содержит окружности и одну прямую.

Носителем (собственного) П. Окружностей являются две круговые точки и две собственные точки а и b. Если , то П. Окружностей можно определить как множество окружностей (считая прямые окружностями бесконечного радиуса), проходящих через точки аи b;если а=b, нужно дополнительно требовать, чтобы окружности касались друг друга в точке а. Если а и bдействительные и различные, П. окружностей наз. Эллиптическим (рис. 1), если совпавшие (действительные) - параболическим (рис. 2), если мнимые (различные) - гиперболическим (рис, 3). Несобственным П. Окружностей наз. Совокупность концентрических окружностей (рис. 4). У каждого собственного П. Окружностей существует так наз. Радикальная ось - прямая, каждая точка к-рой имеет одинаковую степень точки (различную для различных точек) относительно всех окружностей П.

Радикальная ось эллиптического П. Проходит через общие точки окружностей. Параболического - является их общей касательной. Гиперболического - линией центров двух окружностей, ортогональных ко всем окружностям П. Центры окружностей П. Лежат на прямой, перпендикулярной радикальной оси. Точка пересечения линии центров П. И его радикальной оси наз. Центром П. Степень центра П. Относительно любой окружности П. Одинакова и наз. Степенью П. Если ось абсцисс является линией центров окружностей П., а ось ординат - радикальной осью П., то уравнение произвольной окружности П. Имеет вид где t - параметр, определяющий данную окружность, р - степень П. Для эллиптического П. Р<0, для параболического П. р=0, для гиперболического р>0 (степень несобственного П.

Можно считать бесконечной). Окружности, ортогональные всем окружностям данного П., сами образуют П. Про этот П. Говорят, что он сопряжен с данным. Эллиптический П. Сопряжен с гиперболическим, параболический - с параболическим. Любой П. Окружностей является пересечением двух сеялок окружностей. Пучок сфер - одиопараметрическое семейство сфер, линейно зависящее от параметра. Любые две сферы П. Пересекаются но нек-рой окружности действительного, нулевого или мнимого радиуса. В первом случае П. Сфер наз. Эллиптическим, он состоит из всех сфер, проходящих через данную окружность. Во втором - параболическим, П. Состоит из всех сфер, касающихся друг друга в общей точке. В третьем - гиперболическим, П. Состоит из всех сфер, ортогональных к нек-рым трем данным сферам, пересекающимся в двух точках.

У П. Сфер имеется так наз. Радикальная плоскость, каждая точка к-рой имеет одинаковую степень (различную для разных точек) относительно сфер П. Центры всех сфер П. Лежат на одной прямой, перпендикулярной радикальной плоскости. П. Офер является пересечением трех сетей сфер, центры к-рых не лежат на одной прямой. В проективной геометрии алгебраическим пучком прямых наз. Множество всех прямых проективной плоскости, координаты u1, u2, u3 к-рых удовлетворяют уравнению F (u1, u2, u3)=0, где F(u1, u2, u3) - не равный тождественно нулю многочлен, однородный относительно переменных u1, u2, u3;степень многочлена Fназ. Степенью (или порядком) П. Прямых. Алгебраический П. Прямых первого порядка задается уравнением a1u1+aau2+a3u3=0 и представляет собой множество всех прямых, проходящих через точку с координатами (a1, a2, а 3).

Алгебраический П. Прямых второго порядка задается уравнением где fij- действительные числа, среди к-рых по крайней мере одно отлично от нуля. Если дискриминант d=|fij|, i=1, 2, 3, отличен от нуля, П. Прямых второго порядка наз. Невырожденным, если d=0 - вырожденным. Каждый невырожденный П. Второго порядка является множеством касательных к невырожденной линии второго порядка. Каждая невырожденная линия второго порядка является огибающей нек-рого невырожденного П. Второго порядка. Лит.:[1] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. Б. Иванов. .