Рао - Блэкуэлла - Колмогорова Теорема

- утверждение из теории статистич. Оценивания, на основе к-рого построен метод улучшения несмещенных статистич. Оценок. Пусть X - случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве , , причем семейство вероятностных распределений , обладает достаточной статистикой Т=Т (Х), и пусть j = j(Х) - нек-рая векторная статистика с конечной матрицей вторых моментов. В этом случае математич. Ожидание статистики j существует и, кроме того, условное математич. Ожидание является несмещенной оценкой для , то есть В этих условиях Р.- Б.- К. Т. Утверждает, что квадратичный риск статистики j* не превосходит квадpaтичного риска статистики j равномерно по всем т. Е. Для любого вектора z, имеющего ту же размерность, что и статистика j, выполняется неравенство для всех .

В частности, когда j является одномерной статистикой, то при любом дисперсия статистики j* не превосходит дисперсии статистики j В самом общем случае Р.- Б.- К. Т. Утверждает, что операция осреднения по достаточной статистике не приводит к увеличению риска относительно произвольной выпуклой функции потерь, откуда следует, что хорошие статистич. Оценки нужно искать только в терминах достаточных статистик, т. Е. В классе необходимых статистик. В случае, когда семейство является полным, т. Е. Когда единственной несмещенной оценкой нуля является функция, почти всюду равная нулю, несмещенная оценка с равномерно минимальным риском, получаемая с помощью Р.- Б.- К. Т., является единственной. Таким образом, Р.- Б.- К.

Т. Дает рецепт построения наилучших несмещенных оценок. Нужно взять любую несмещенную оценку, а затем осреднить ее по достаточной статистике. Именно таким образом в следующем примере, принадлежащем А. Н. Колмогорову, строится наилучшая несмещенная оценка функции распределения нормального закона. П р и м е р. Пусть по реализации случайного вектора Х= (Х 1, . , Х n), компоненты к-рого Xi, i=l, 2, . , п,, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону , следует оценить функцию распределения Предполагается, что параметры и неизвестны. Так как семейство нормальных законов является полным и существует достаточная статистика , где и то для построения наилучшей несмещенной оценки функции распределения следует воспользоваться Р.- Б.- К.

Т. В качестве исходной статистики j можно взять, напр., функцию эмпирич. Распределения, построенную по какой-то одной компоненте вектора X, напр. Х 1 то есть к-рая является тривиальной несмещенной оценкой для , так как Осреднение оценки j по достаточной статистике Тприводит к оценке (1) В силу того что статистика являющаяся дополнительной к достаточной статистике Т. Имеет равномерное распределение на (n-2)-мерной сфере радиуса n и, следовательно, не зависит ни от неизвестных параметров и , ни от достаточной стати- стики Т, то тоже не зависит от и Т, причем (2) где (3) - функция распределения Томпсона с f степенями свободы. Таким образом, из (1)-(3) следует, что наилучшей несмещенной оценкой для , построенной по пнезависимым наблюдениям Х 1, .

, Х n, является где - функция распределения Стьюдента с f степенями свободы. Лит.:[1] К о л м о г о р о в А. Н., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1950, т. 14, № 4, с. 303-26;.[2] Ра о С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. С англ., М., 1968. 1.3] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Математическая статистика, пер. С нем., М., 1960. [4] В 1 а с k w е 1 1 D., "Ann. Math. Statistics", 1947, v. 18, p. 105 - 10. М. С. Никулин.