Распределение Дробных Долей

- распределение в единичном интервале [0.1) дробных долей {aj} последовательности действительных чисел aj, j= =1,2, . Последовательность дробных долей {aj}, j=1,2, . , наз. Р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е нн о й в и н т е р в а л е [0,1), если для каждого интервала имеет место равенство где jn(а, b) - число первых пчленов {aj}, , последовательности {aj}, j=1,2, . , попавших в [ а, b). Прп этом последовательность чисел aj, j= =1,2, . , наз. Р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н-н о й п о м о д у л ю 1. К р и т е р и й В е й л я (см. [1]) для равномерно Р. Д. Д. Бесконечная последовательность дробных долей {aj}, j=1, 2, . , равномерно распределена в единичном интервале [0, 1) тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции f(x).

Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность aj, j= 1, 2, ..., была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого . Из критерия Вейля и его оценок тригонометрии, сумм следует, что если хотя бы один из коэффициентов as, , многочлена иррационален, то последовательность дробных долей {f(n)}, n = 1, 2, . , равномерно распределена в интервале [0, 1). Понятию равномерного Р. Д. Д. {aj}, j-1, 2, . , можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину называемую отклонением первых пчленов последовательности {aj}, j=1, 2, . (см. [2], [3]). Лит.:[1] W е у 1 Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313-52. [2]В и н о г р а д о в И.

М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. [3] X у а Ло - к е н. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. С нем., М., 1964. С. А. Степанов.