Распределение Дробных Долей Многомерное

- распределение в n-мерном единичном кубе i=1,2, . П, дробных долей последовательности точек n-мерного евклидова пространства , j-1, 2, . Здесь { } - знак дробной доли. Последовательность дробных долей {Pj}, j=1, 2, . , наз. Р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й в единичном n-мерном кубе Е, если для каждого прямоугольника V, содержащегося в E, имеет место равенство где jm,(V)- число точек среди первых тчленов последовательности {Pj}, попавших в V, и - мера прямоугольника V. Последовательность Р j, j=1, 2, . , точек n-мерного пространства наз. Р а в н о м е р н о р а с п р е д ел е н н о й п о м о д у л ю 1, если соответствующая ей последовательность дробных долей {Pj}равномерно распределена в единичном кубе Е .

Критерий Вейля для Р. Д. Д. М. Последовательность {Pj}, j=1, 2, . , равномерно распределена в единичном кубе Етогда и только тогда, когда для каждого набора целых чисел (а 1, a2, . , an)№0, 0. .0). Частным случаем этой теоремы является Вейля критерий для равномерного распределения по модулю 1 последовательности действительных чисел. Из критерия Вейля следует т е о р е м а К р о н е к е р а. Пусть q1, q2, . , qn, 1 - действительные числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, al, a2, . , an - произвольные действительные числа и N,e - положительные числа. Тогда существуют целые ти p1, р 2,. , р n такие, что для всех i=l, 2, . , п. Иначе говоря, последовательность mq=(mq1, mq2 . , тq п), m=1,2, . , равномерно распределена по модулю 1.

Лит. [1] К а с с е л с Д ж. В. С., Введение в теорию диофантовых приближений, пер. С англ., М., 1961. С. А. Степанов.