Резольвента

- 1) Р. А л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п - алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f(x)=0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших п. Иногда Р. Называют само рациональное выражение Пусть f(x) - сепарабельный многочлен над полем kс группой Галуа Gи H - нормальный делитель группы G. Пусть - рациональное выражение от x1, . .., х п, остающееся инвариантным при всех подстановках корней х 1, . ., х п из группы Н, и Тогда уявляется корнем нек-рого уравнения g(y) =0с коэффициентами из k, группа Галуа к-рого является собственной факторгруппой группы G.

Таким образом, решение уравнения f(x)=0 сводится к решению уравнения g(y)=0 и решению уравнения f(x)=0 над полем k(y1, ..., ys). Напр., для решения уравнения 4-й степени (любое уравнение 4-й степени приводится к такому виду) используют кубич. Р. корни к-рой y1, y2, y3 связаны с корнями х 1, x2, х 3, x4 соотношениями. Корни y1, y2, y3 определяются с помощью формулы Кардано, что позволяет определить и корни х 1, х2, x3, x,4. Последовательное применение метода Р. Позволяет свести решение любого уравнения с разрешимой группой Галуа к решению цепочки уравнений с циклич. Группой Галуа. Для решения последних используются резольвенты Лагранжа. Пусть f(х)=0 - уравнение над полем kс циклич. Группой Галуа G порядка пи пусть kсодержит первообразный корень из единицы степени п.

Для элемента a, принадлежащего нолю разложения многочлена f(x), и характера c группы G в группу корней из единицы степени n р е з о л ь в е н т а Лагранжа r (c, a) определяется формулой (*) Пусть a=x1- один из корней многочлена f(х)и c пробегает все характеры группы G. Тогда система линейных уравнений (*) позволяет определить корни x1, x2,. ., х п, если известны резольвенты Лагранжа для всех характеров c группы G. Для выполняется соотношение к-рое показывает, что элементы при любом целом iинвариантны относительно G и, следовательно, являются однозначно определенными рациональными выражениями от коэффициентов многочлена f (х)и корня . Если c порождает группу характеров группы G, то имеют место равенства и для Р е з о л ь в е н т о й Г а л у а уравнения f(x)=0наз.

Такое неприводимое над данным полем алгебраич. Уравнение у(х)=0(см. Галуа теория), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f(x)= 0. Лит.:[1] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. С нем., 2 изд., М., 1979. Л. В. Кузьмин. 2) В теории интегральных уравнений под Р. (разрешающим ядром) уравнения (**) понимают функцию Г (s, t;l) переменных s, tи параметра l, при помощи к-рой решение уравнения (**) представляют в виде если l, не есть собственное значение уравнения (**), напр. Для ядра K(s, t)=s+t резольвентой является функция БСЭ-3. 3) Р.