Рефлективная Подкатегория

подкатегория, содержащая "наибольшую" модель любого объекта категории. Точнее, полная подкатегория категории наз. Р е ф л е к т и в н о й, если содержит -рефлектор (см. Рефлектор).для любого объекта категории. Полная подкатегория категории рефлективна тогда и только тогда, когда функтор вложения обладает сопряженным слева функтором Функтор Sсопоставляет каждому объекту Аиз его -рефлектор S(А);морфизмы , входящие в определение -рефлектора, определяют естественное преобразование тождественного функтора в композицию функторов . Двойственным к понятию Р. П. Является понятие корефлективной подкатегории Р. П. наследует многие свойства объемлющей категории . Напр., морфизм тогда и только тогда является мономорфизмом в , когда он мономорфизм в .

Поэтому всякая Р. П. Локально малой слева категории локально мала слева. Р. П. Обладает произведениями тех семейств объектов, для к-рых произведение существует в самой категории, при этом оба произведения оказываются изоморфными. То же самое справедливо и для любых пределов. С другой стороны, функтор Sпереводит копределы из в копределы в . Поэтому Р. П. Полной (слева) категории является полной (слева) категорией. Пусть - полная локально малая категория. Всякая полная подкатегория категории , замкнутая относительно произведений и подобъектов своих объектов и содержащая правый нуль, является Р. П. В частности, всякое многообразие категории есть Р. П. -рефлектор произвольного объекта Астроится следующим образом. Выбираются представители , , таких факторобъектов объекта А, что П роизведение принадлежит , и -рефлектор S(A)является образом однозначно определенного морфизма , для к-рого П р и м е р ы.

1) Пусть R - область целостности. Полная подкатегория инъективных модулей без кручения является Р. П. Категории R-модулей без кручения. Рефлекторами являются инъективные оболочки модулей. В частности, подкатегория полных абелевых групп без кручения есть Р. П. Категории абелевых групп без кручения. 2) Полная подкатегория нормальных топологич. Пространств есть Р. П. Категории вполне регулярных топологич. Пространств. Рефлекторы строятся с помощью компактификации Чеха. 3) Полная подкатегория пучков есть Р. П. Категории предпучков. Рефлекторы определяются функтором ассоциированного пучка. М. Ш. Цаленко.