Свободная Группа

- группа F с системой Xпорождающих элементов такая, что любое отображение множества Xв любую группу G продолжается до гомоморфизма Fв G. Такая система Xназ. С и с т е м о й с в о б о д н ы х п о р о ж д а ю щ и х. Ее мощность наз. Р а н г о м с в о б о д н о й г р у п п ы F. Множество Xназ. Также а л ф а в и т о м. Элементы из Fпредставляют собой слова в алфавите X, т. Е. Выражения вида где при всех j, а также пустое слово. Слово vназ. Н е с о к р а т и м ы м, если при всех j=1,2..., n-1. Несократимые слова являются разными элементами С. Г. F, и каждое слово равно единственному несократимому слову. Число пназ. Длиной слова v,если оно несократимо. П р е о б р а з о в а н и я м и Н и л ь с е н а конечного упорядоченного множества элементов группы называются.

1) перестановка двух элементов в этом множестве, 2) замена одного из а i- на , 3) замена одного из ai на aiaj, где . Если С. Г. Fимеет конечный ранг, то преобразования Нильсена над системой свободных порождающих приводят к новым системам свободных порождающих, причем любая система свободных порождающих может быть получена из любой другой последовательности применением этих преобразований (т е о р е м а Н и л ь с е н а, см. [2]). Значение С. Г. Определяется тем, что всякая группа изоморфна нек-рой факторгруппе подходящей С. Г. Всякая подгруппа С. Г. Также свободна (теорема Нильсена -Шрайера, см. [1], [2]). С. Г. групп многообразияопределяется аналогично С. Г., но в пределах . Ее наз. Также -свободной группой, или относительно свободной (а также п р и в е д е н н о с в о б о д н о й).

Если определяется системой тождеств v=1, где , то С. Г. Многообразия с системой Xсвободных порождающих изоморфна факторгруппе F/V(F)С. Г. Fс системой Xсвободных порождающих по вербальной подгруппе V(F) - подгруппе, порожденной всеми значениями слов в F. С. Г. Нек-рых многообразий имеют специальные названия, напр. Свободная абелева, свободная нильпотентная, свободная разрешимая, свободная бернсайдова - С. Г. Многообразий , соответственно. Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967. [2] М а г н у с В., К а р р а с А., С о л и т э р Д., Комбинаторная теория групп, пер. С англ., М., 1974. [3] Н е й м а н X., Многообразия групп, пер. С англ., М., 1969. А. Л. Шмелъкин.