Сепарабельное Расширение

п о л я - расширение K/kтакое, что для нек-рого натурального п поля Kи линейно разделены над k(см. Линейно разделенные расширения). Расширение, не являющееся сепарабельным, наз. Н е с е п а р а б е л ь н ы м. В дальнейшем рассматриваются только алгебраич. Расширения (о трансцендентных сепарабельных расширениям см. Трансцендентное расширение). Конечное расширение сепарабельно тогда и только тогда, когда отображение следаявляется ненулевой функцией. Алгебраич. Расширение сепарабельно, если любое конечное его подрасширение сепарабельно. В характеристике 0 все расширения сепарабельны. С. Р. Образуют отмеченный класс расширений, т. Е. В башне полей расширение L/kсепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельны и L/Kи K/k.

Если K1/kи K2/kсуть С. Р., то и K1K2/kсепарабельно. Для С. P. K/kи произвольного расширения L/kрасширение KL/Lснова сепарабельно. Расширение K/kсепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает погружение в некрое расширение Галуа L/k. При этом для конечного расширения K/kчисло различных k-изоморфизмов поля Kв Lсовпадает со степенью [K. K]. Любое конечное С. Р. Является простым. Многочлен наз. С е п а р а б е л ь н ы м над k, если его неприводимые множители не имеют кратных корней. Алгебраич. Элемент a наз. Сепарабельным (над k),если он является корнем сепарабельного над kмногочлена. В противном случае a. Наз. Н е с е п а р а б е л ь н ы м. Элемент a. Наз. Ч и с т о н е с е п а р а б е л ь н ы м над k,если для нек-рого п. Неприводимый многочлен f(x)несепарабелен тогда и только тогда, когда производная f' (х) тождественно равна 0 (это возможно только в случае, когда kимеет характеристику ри f(х)=f1(xP).

Произвольный многочлен f(x)однозначно представим в виде , где g(x) - сепарабельный многочлен. Степень многочлена g(x). И число еназ. Соответственно редуцированной степенью и индексом многочлена f(х). Пусть L/k - произвольное алгебраич. Расширение. Все элементы поля L, сепарабельные над k, образуют поле K,к-рое является максимальным С. Р. Поля k,содержащимся в L. Поле Kназ. Сепарабельным замыканием поля kв L. Степень [K. K]наз. Сепарабельной степенью расширения L/k, а степень [L. K] - несепарабельной степенью, или степенью несепарабельности. Несепарабельная степень равна нек-рой степени числа p=char k. Если K=k, то поле kназ, сепарабельно замкнутым в L. В этом случае расширение L/kназ. Чисто несепарабельным. Расширение K/kчисто несепарабельно тогда и только тогда, когда т.

Е. Когда любой элемент поля Kчисто несепарабелен над k. Чисто Несепарабельные расширения поля kобразуют отмеченный класс расширений. Если расширение K/kодновременно сепарабельно и чисто несепарабельно, то K=k. Лит. См. При ст. Расширение поля. Л. В. Кузьмин.