Симметрический Многочлен

многочлен f с коэффициентами из нек-рого поля или ассоциативно-коммутативного кольца Кс единицей, являющийся симметрической функцией от своих переменных, т. Е. Инвариантный при любых подстановках переменных. (*) С. М. Образуют алгебру S( х 1, . ., х п).над К. Важнейшие примеры С. М.- элементарные симметрические многочлены и степенные суммы, т. Е. Многочлены Для выражения степенных сумм р k( х 1, . ., х п) в виде многочленов от элементарных симметрич. Многочленов имеются рекуррентные формулы, называемые формулами Ньютона. Элементарные С. М. От корней произвольного многочлена одной переменной со старшим коэффициентом 1 с точностью до знака совпадают с остальными коэффициентами этого многочлена (см.

Виета теорема). Основная теорема о симметрических многочленах. Каждый С. М. Является многочленом от элементарных С. М., причем представим в этом виде единственным образом. Другими словами, элементарные С. М. Являются свободной системой образующих алгебры S( х 1, . ., х п). Если поле имеет характеристику 0, то многочлены р 1, . ., р п также являются системой свободных образующих алгебры S(x1, . .., хД). Кососимметрическим, или знакопеременным, многочленом наз. Многочлен f(x1 ,. ., х п), удовлетворяющий соотношению (*), если подстановка p четная, и соотношению если p нечетная. Любой кососимметрич. Многочлен представил. В виде Dng, где gесть С. М., а Это представление не однозначно, поскольку имеется соотношение Лит.:[1] Курош А.

Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. [2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977. [3] Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965. О. А. Иванова.