Симплекс

- топологическое пространство | А|, точками к-рого служат неотрицательные функции , определенные на конечном множестве Аи удовлетворяющие условию . Топология в | А| полагается индуцированной из - пространства всех функций из Ав . Действительное число j(а) наз. А-й барицентрической координатой точки j, размерностью симплекса | А| наз. Число car dA-1. В случае, когда Аявляется линейно независимым подмножеством евклидова пространства, симплекс | А| гомеоморфен выпуклой оболочке множества А(гомеоморфизм задается соответствием ). В связи с этим выпуклая оболочка линейно независимого подмножества евклидова пространства наз. Евклидовым С. Для любого отображения конечных множеств формула , определяет непрерывное отображение , являющееся для евклидовых С.

Аффинным (неоднородным линейным) отображением, продолжающим отображение f. Этим задается функтор из категории конечных множеств в категорию топологич. Пространств. Если и - соответствующее вложение, то |i| - гомеоморфизм на замкнутое подмножество, наз. Гранью симплекса | А| и обычно отождествляемое с |В|. Нульмерные грани наз. Вершинами (как правило, вершины отождествляются с элементами множества А). Топологическим упорядоченным С. Наз. Топологич. Пространство X, для к-рого задан гомеоморфизм , где Dn - стандартный симплекс. Образ граней Dn при гомеоморфизме hназ. Гранью топологического упорядоченного симплекса X. Отображение топологических упорядоченных симплексов Xи Yназ. Линейным, если оно имеет вид , где kи h - заданные гомеоморфизмы, F - произвольное отображение вида |f|.

Топологическим С. (размерности n) наз. Топологич. Пространство X, наделенное (n+1). Гомеоморфизмами (то есть (n+1). Структурами топологического упорядоченного С.), отличающимися на гомеоморфизмы вида |f|, где f - произвольная перестановка вершин. Аналогично, отображение топологического С. Наз. Линейным, если оно является линейным отображением соответствующих топологических упорядоченных С. С. Наз. Также элементы симплициальных множеств и отмеченные подмножества симплициальных схем. А. В. Хохлов.