Симплектическая Структура

инфинитезимальная структура1-го порядка на четномерном гладком ориентируемом многообразии М 2n, к-рая определяется заданием на М 2п невырожденной 2-формы Ф. В каждом касательном пространстве Т х( М 2n). Возникает структура симплектич. Пространства с кососимметрическим скалярным произведением Ф (X, Y). Все касательные к М 2n реперы, адаптированные к С. С. (т. Е. Реперы, относительно к-рых Ф имеет канонич. Вид образуют главное расслоенное пространство над М 2n, структурной группой к-рого является симплектич. Группа Sр(n). Вообще, задание С. С. На М 2п равносильно заданию Sp(n)-структуры на М 2n, как нек-рой G-cmpyкmypы. На М 2n со С. С. Существует изоморфизм между модулями векторных полей и 1-форм на M2n, к-рый векторному полю Xставит в соответствие 1-форму .

Образ скобки Ли [X, Y]наз. При этом скобкой Пуассона [wX, wY]. В частности, когда wX и wY полные дифференциалы, получается понятие скобки Пуассона двух функций на M2n, к-рое обобщает соответствующее классич. Понятие. С. С. Наз. Почти гамильтоновой структурой, а если Ф замкнута, т. Е. DФ=0, то гамильтоновой структурой. Впрочем, иногда условие dФ=0 включают в определение С. С. Эти структуры, находящие применения в глобальной аналитич. Механике, основаны на том факте, что на касательном расслоенном пространстве Т* (М).любого гладкого многообразия Мсуществует каноническая гамильтонова структура. Она определяется формой Ф=dq, где 1-форма q на Т*(M), наз. Формой Лиувилля, задается следующим образом. Qu( Х и)=и(p*Х и).для любого касательного вектора Х и в точке , где p - проекция .

Если на Мвыбраны локальные координаты х 1, . ., х п и , то , вследствие чего В классич. Механике Минтерпретируется как конфигурационное пространство, а Т* (М).как фазовое пространство. Векторное поле Xна М 2n с гамильтоновой структурой наз. Гамильтоновым (или гамильтоновой системой), если 1-форма wX замкнута. Если она, кроме того, точна, т. Е. WX=-dH, то функция Нна М 2п наз. Гамильтонианом и является обобщением соответствующего классического понятия. Лит.:[1] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрия, пер. С англ., М., 1970. [2] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. С франц., М., 1973. Ю. Г. Лумисте.